1.2 Геометрическое моделирование процесса съмки

Для описания геометрии пространственных объектов и их проекций будем использовать геометрическую алгебру [2], [3], [4]. Прежде чем перейти к описанию геометрической модели формирования данных рассмотрим некоторые вспомогательные понятия геометрической алгебры.

1.3 Геометрическая модель формирования данных

Для реконструкции пространственной плотности и оценивания геометрических параметров объекта необходимо иметь информацию о взаимном расположении проекций в момент фиксации проекций. Такую информацию обеспечивает знание механики движения камеры и характеристики этого движения в процессе съемки проекций. Геометрическая модель съемки проекций позволяет решить две задачи: определить связь локальной системы координат каждой из проекций с некоторой фиксированной пространственной системой координат (которую в дальнейшем мы будем называть мировой системой координат), а также получить явное выражение координат проекционного образа произвольной пространственной точки в локальной системе координат, связанной с проекцией.

Вторая задача требует отдельного рассмотрения для случая параллельной схемы сканирования и конусной схемы сканирования, в то время как первая задача является универсальной для обеих схем.

Глава 2. Реконструкция функции пространственной плотности

Основные результаты реконструкции пространственной плотности в этой главе получены для преобразования Радона в виду исключительной практической ценности последнего. Однако существующая связь между интегральными преобразованиями, описанными в предыдущей главе позволяет распространить результаты этой главы на другие операторы.

2.1 Формулы обращения

Явные формулы обращения нужны не только для разработки алгоритмов восстановления. Они также играют важную роль при изучении локальной зависимости решений от исходных данных. Мы получим формулы обращения для оператора радона и проекционного оператора.

2.2 Алгоритмы реконструкции пространственной

плотности

Поскольку лучевое преобразование однозначно связано с преобразованием Радона соотношением (а для дискретного случая производится численное интегрирование в правой части выражения), то, если обратное не оговорено явно, мы будем ограничиваться рассмотрением алгоритмов реконструкции исходной функции по радоновскому образу, для которых в ряде случаев существует более удобные с практической точки зрения формулы [9].

Существует множество различных подходов к восстановлению исходной функции по радоновскому образу, основанных, как правило, на использовании различных комбинаций операторов, входящих в выражение , а также на специальном их представлении как в непрерывном, так и в дискретном виде. Помимо этого существует ряд эмпирических алгоритмов, не обладающих строгим доказательством сходимости, однако часто применяемых на практике в силу их простоты и достаточной эффективности. Можно условно выделить несколько групп алгоритмов реконструкции, использующих сходные математические техники:

1. Алгоритмы обратного проецирования.

2. Алгоритмы сверточного типа.

3. Фурье-алгоритмы.

4. Алгебраические алгоритмы.

5. Алгоритмы -фильтрации проекций.

Следует отметить, что все разнообразие алгоритмов не ограничивается перечисленными выше, кроме того, на практике используются комбинированные алгоритмы, позволяющие повысить точность реконструкции. В конкретных задачах наряду с указанными выше широко используются эмпирические методы [6,9], учитывающие специфику задачи и обладающие меньшей вычислительной сложностью. Далее рассмотрим более подробно каждую из перечисленных групп.