9. Определение производной ф-ции.

Пусть функция f(x) непрерывна на интервале ав и точка хо принадлежит ав, выберем число дельтаХ такое, что х0+дельтаХпринадлежат ав, тогда величина дельтаХ называется приращением аргумента х в точке х0.

10. Дифференцируемость функции.

Функция f(x) называется дифференцированной в точке х0, если ее приращениев той точке может быть представлено в виде как некоторое число А*дельтаХ+£(дельтах)

Дельтаf(х0)= А*дельтаХ+£(дельтах)

11. Дифференциал функции.

Дифференциалом функции f(х) называется главное, линейное относительно приращение элемента часть приращения функции.

Теорема: если функция дифференцириума на интервале ав, то она непрерывна на этом интервале.

12. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть u(x) и v(x)- две дифференцируемые функции в точке х, т.е. для них существуют производные, тогда: 1) (u+v)΄=u΄+v΄, сумма тоже дифференцируема;

2) (uv)΄=u΄v+uv΄ так же дифференцируема. Следствие если с константа, то (c*u) ΄=c*u΄

3) если v≠0, то (u/v) ΄=(u΄v-uv΄)/v²

Пусть функция y=f(x) дифференциривана в точке х, в свою очередь в х есть некая функция x=φ(t), деференцируема в точке t, тогда функцию у можно записать у=f(φ(t)) при этом функция у будет дифференцируема от t (y΄t=fx΄(x)-φt΄(t))/

Функция f называется внешней, а функция φ- внутренней.

13. Признаки постоянства и монотонности функции.

1. для того, чтобы функция была постоянной на интервале ав необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этого интервала функция была производной и ровна 0.

2. Для того, чтобы функция f(x) возростала на интервале ав необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) была больше 0

3. Для того, чтобы функция f(x) убывала, на интервале ав необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) была меньше 0

4. Пусть f(x) дифференцируема на интервале ав и точка с находится внутри этого интервала, тогда если функция в точке с принимает наибольшее или наименьшее значение, то f΄(с)=0

13. Признаки экстремума функции.

Точка х0- точка локального максимума ( минимума) ф-ции f(x), если существует такая окрестность в точке х0 ( х0-Е, х0+Е), что ( f(x0)>f(x); Vx принадлежит (x0эпсилент, х+эпсилент) для всякого х для данной окрестности.

Точка локального минимума и максимума- точка экстремума. Пусть f(x)- дифференциальна на интервале ав, точка с лежит внутри этого интервала. Для того, чтобы точка с была точкой экстремума необходимо, чтобы f(x)=0. это условие необходимое и достаточное.

Теорема:

Пусть функция f(x) определена на всем интервале ав и деференциальна во всех точках этого интеграла за исключением может быть точки с. Тогда для того чтобы точка с была точкой экстремума, достаточно, чтобы производная меняла знак при переходе через точку с. При чем точка с будет точкой максимума, если знак меняется с плюса на минус, и точкой минимума, если знак меняется с минуса на плюс.