Лабораторная работа № 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ГАЛЬВАНОМЕТРА

Цель работы: изучение баллистического гальванометра, измерение емкости конденсаторов с помощью баллистического гальванометра.

Приборы и принадлежности: Баллистический гальванометр, источник тока, вольтметр, потенциометр, два ключа, двухполюсный переключатель, эталонный конденсатор, испытуемый конденсатор, соединительные провода.

1. Электроёмкость

Электроемкость. Если сообщить проводнику электрический заряд, то его потенциал относительно какой-либо точки (например, Земли) будет возрастать пропорционально заряду: U  q. Коэффициент пропорциональности называется электрической емкостью (сокращенно просто емкость) проводника. Емкость характеризует способность тела накапливать заряды. Емкость численно равна заряду, перенесение которого на проводник повышает его потенциал на единицу.

Если С – емкость тела, q – подведенный заряд, U – разность потенциалов, то

С = q/U. (1)

Единицы емкости в СИ: [C] = [q]/[U] = Кл/B = Ф.

Соотношение между единицами емкости:

1 Ф = 10⁶ микрофарад (мкФ) = 10¹² пикофарад (пФ).

Конденсаторы. Уединенные проводники обладают малой емкостью. Даже шар таких размеров, как Земля, имеет емкость всего лишь 700 мкФ. Вместе с тем на практике бывает потребность в устройствах, которые при небольшом относительно окружающих тел потенциале накапливали бы на себе (конденсировали) заметные по величине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, положен тот факт, что электроемкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Конденсаторы делают в виде двух проводников, расположенных близко друг к другу. Образующие конденсатор проводники называют его обкладками. Чтобы внешние тела не оказывали воздействия на емкость конденсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают их друг относительно друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было полностью сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют две пластинки, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра и две концентрические сферы. Соответственно, бывают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы.

Конденсаторы представляют собой два разноименно заряженных проводника, находящихся на небольшом расстоянии друг от друга.

Величина емкости конденсаторов определяется их геометрией (формой и размерами обкладок и величиной зазора между ними), а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками.

Найдем формулу для емкости плоского конденсатора. Если площадь обкладки S, а заряд на ней q , то напряженность поля между обкладками равна (выведена с использованием теоремы Гаусса – Остроградского *):

E = .

здесь  – поверхностная плотность заряда,  = q/S.

Разность потенциалов между обкладками равна:

₁ – ₂ = E d = ,

откуда для емкости плоского конденсатора получается следующая формула:

C = q/(₁ – ₂) = ₀S/d (2)

Где S – площадь обкладки, d – величина зазора между обкладками,  – диэлектрическая проницаемость заполняющего зазор вещества.

* Гаусс Карл Фридрих (1777–1855) – немецкий математик, астроном и физик. Исследования посвящены многим разделам физики. Остроградский Михаил Васильевич (1801–1862) – отечественный математик и механик.

Вычислим емкость цилиндрического и сферического конденсаторов. Напряженность поля между обкладками цилиндрического конденсатора рассчитывается как для поля бесконечного заряженного цилиндра с использованием теоремы Гаусса - Остроградского:

E(r) = ,

где  – линейная плотность заряда,  = q/l, l – длина обкладок.

Заменив в формуле  на q/l, получим для напряженности поля между обкладками цилиндрического конденсатора следующее выражение:

E(r) =

Разность потенциалов между обкладками находим путем интегрирования:

₁ – ₂ =

( R₁ и R₂ – радиусы внутренней и внешней обкладок).

Получим емкость цилиндрического конденсатора:

C = q/(₁ – ₂) = 2₀l/ln(R₂/ R₁). (3)

Если зазор между обкладками относительно мал, т.е. выполняется условие d = R₂ – R₁ « R₁,знаменатель формулы можно преобразовать следующим образом:

ln(R₂/ R₁) = ln(1 + (R₂ – R₁)/R₁)  (R₂ – R₁)/R₁ = d/R₁

Выражение 2 R₁l дает площадь обкладок, таким образом, в случае малого зазора емкость цилиндрического конденсатора можно вычислить по формуле

C = 2₀lR₁/d = ₀S/d

Напряженность поля между обкладками сферического конденсатора (выведена с использованием теоремы Гаусса - Остроградского):

E(r) =

Найдем разность потенциалов;

₁ – ₂ =

(где – R₁ и R₂ – радиусы внутренней и внешней обкладок)

Отсюда, для емкости получается выражение:

C = q/(₁ – ₂) = 4₀ R₁R₂/(R₂ – R₁) (4)

В случае, когда d = R₂ – R₁ « R₁, выражение 4R₁R₂ примерно равно площади S любой из обкладок. Поэтому формула может быть приближенно записана в виде:

C = 4₀R₁R₂/(R₂ – R₁) = ₀S/d

Введение между обкладками прослойки из сегнетоэлектрика позволяет получать при небольших размерах конденсатора большую емкость.

Помимо ёмкости, каждый конденсатор характеризуется предельным напряжением (разность потенциалов между обкладками) U_max, которое можно прикладывать к обкладкам конденсатора, не опасаясь его пробоя. При превышении этого напряжения между обкладками проскакивает искра, в результате чего разрушается диэлектрик и конденсатор выходит из строя.

Соединения конденсаторов. Располагая некоторым набором конденсаторов, можно значительно расширить число возможных значений емкости и рабочего напряжения, если применить соединение конденсаторов в батареи.

П ри параллельном соединении (рис. 1) одна из обкладок каждого конденсатора имеет потенциал ₁, а другая ₂, т.е. напряжения на них одинаковы.

Следовательно, на каждой из систем обкладок накапливается соответствующий заряд (q_k ): иными словами полный заряд равен сумме зарядов отдельных конденсаторов:

q = (5)

С_пар= q/(₁– ₂) = С_к

В результате С_пар=С_к, таким образом, при параллельном соединении конденсаторов емкости складываются.

На рис. 2 показано последовательное соединение конденсаторов. Для конденсаторов, включенных последовательно, характерна одинаковая величина заряда q на обкладках. Поэтому напряжение на каждом из конденсаторе:

U_k = q/C_k. (6)

Сумма этих напряжений равна разности потенциалов, приложенной к батарее:

₁– ₂ = ,

откуда получается,

В результате:

При последовательном соединении конденсаторов складываются величины, обратные их емкостям. Для двух последовательно соединенных конденсаторов формула упрощается:

(7)

В работе требуется определить емкость конденсатора и емкости при последовательном и параллельном соединениях конденсаторов, исследуя разряд конденсатора с помощью баллистического гальванометра.