Алгебраические системы
Какие из следующих операций над целыми числами коммутативны и/или ассоциативны: а) m-n; б) , в) m+n-mn; г) ?
Будет ли отрезок [-1;1] группой относительно операции сложения ? НЕТ
Будет ли интервал (0;+∞) группой относительно операции умножения? ДА
Будет ли множество C[-1;1] непрерывных функций на отрезке [-1;1] кольцом? Привести пример двух ненулевых функций f,g∈ C[-1;1] таких, что fg=0.
Будет ли отрезок [-1;1] без 0 группой относительно операции умножения?
В моноиде ℳ слов над алфавитом А={а,б,в} найти все слова длины 2. Сколько слов длины n в моноиде ℳ ?
В моноиде невырожденных 2х2-матриц (относительно умножения) найти все инволюции (т.е. элементы, квадрат которых равен единичному элементу).
В кольце Mat(2x2,ℝ) найти все а) идемпотенты; б) нильпотентные элементы (некоторая степень равна 0).
Пусть G – группа движений плоскости, Φ – поворот на относительно О, Ψ – отражение относительно оси Oy. Описать в геометрических терминах движения а) и ; б) . Решить уравнение .
Проверить, что множество остатков от деления на 5 есть поле относительно операций сложения и умножения по модулю 5. Составить таблицы сложения и умножения в этом поле.
Проверить, что множество , где 1+1=0 и есть поле (Галуа) из четырех элементов, содержащее поле . Составить таблицы сложения и умножения в этом поле.
В алгебраической системе «Неделя» («Неделя*{чет, нечет}) с унарными операциями СледДень, ПредДень найти а) ; б)
Абелевы группы
1. Разложить в прямую сумму циклических групп фактор группу , где .
2. Разложить в прямую сумму примарных циклических групп фактор группу , где .
3. Какие из подмножеств рациональных чисел будут подгруппой в (ℚ ,+): а) ; б) десятичные дроби; в) правильные дроби; г) целые числа
4. Циклическую группу порядка 7 реализовать как а) группу движений плоскости; б) подгруппу группы подстановок; в) подгруппу мультипликативной группы комплексных чисел.
Подстановки
Даны подстановки . Найти ,
Записать подстановку такую, что . Каков ее порядок?
Записать подстановку вершин квадрата при отражении его относительно диагонали.
Записать подстановку вершин куба при повороте куба на относительно его диагонали.
Разложить в циклы, найти порядки и знаки этих подстановок.
Каково наибольшее возможное число инверсий у подстановки ? На какой подстановке оно реализуется?
Решить уравнение относительно .
Написать программу генерации случайной подстановки.
Написать программу нумерации подстановок.
Написать программу возведения подстановки в заданную степень.
Доказать, что порождается транспозицией (1,2) и максимальным циклом
Кольца
Найти группу обратимых элементов для следующих колец
кольцо непрерывных функций на отрезке [0;1]
кольцо сходящихся последовательностей
Дано кольцо матриц Сколько в нем элементов? Оно коммутативно? Его группа обратимых элементов ?
Поля
Обратить в поле
Обратить в поле
Построить поле Галуа GF(8) исходя из нового элемента α такого, что
Можно ли расширить поле ( ) подсоединением корня из -1?
Доказать, что поле рациональных чисел не содержит собственных подполей.