11. Определить критерий подобия математического маятника, который описывается уравнениями:

d²j / dt² = -(g / l)×sinj; m×l×(dj / dt)²=N-m×g×cosj

с начальными условиями t=t₀; j=j₀; dj /dt = ₀,

где t - время; m - масса груза; j - угол между нитью и вертикалью; l, N - длина и сила натяжения нити.

Произведем замену переменных по зависимостям t=t_d×t, N = N_d×n, j=j _d×g,

После замены переменных получим уравнения

с начальными условиями при t_d×t=t₀.

приведем полученные уравнения к безразмерному виду:

при

Выделим из математического описания все обобщенные параметры:

Пусть .

Тогда A₁ = A ₂= A₃ = A₄ =1 , A₅=₁; A₆=₂;, A₇=₃;, где - критерии подобия.

12. Критерии подобия определяемые путем формирования из размерных величин безразмерных степенных комплексов, на примере уравнения теплопроводности.

1.  =  ( w, l, , c_p, ,  ); n = 6.

2. СИ ( кг, м, с, К ); k = 4.

3. l, м .

4. , кг / м ³ ; w, м / с; c_p , Дж / (кг К );  , Дж / ( с м  К ) = ( c_p ,Дж / кг К )(  , кг/м³ )(w , м / c)(l , м );  , кг / (м с )= ( , кг / м³ )(w, м / с)( l ,м ); q = 4.

5.  , Дж/ (с м²  К ) = ( c_p , Дж / кг К )(  , кг / м³ )( w , м / с ).

6. ; Получили три критерия подобия: ; ; .

7. m + 1 – q = 6 + 1 – 4 = 3.

13. Критерии подобия, определяемые методом нулевых степеней на примере прохождения тока в последовательно соединённых резисторе, дросселе и конденсаторе при включении постоянного напряжения. Формула СИ.

Формулы размерностей СИ:

,

, , .

.

Составляется система

y₁ – 3y₂ – 3y₅ – 2y₄ + 4y₅ = 0 ;

2y₂ + 2y₃ + 2y₄ – 2y₅ =0;

y₂ + y₃ + y₄ – y₅ =0;

-y₂ –2y₃ – 2y₄ + 2y₅ + y₆ =0.

Последовательным исключением неизвестных находится решение

y₁ = - y₄ – y₅ ;

y₂ = - y₆ ;

y₃ = - y₄ + y₅ + y₆ .

В результате получаем

= .

Критерии подобия имеют следующий вид

₁ =U ^{– 1}R I ; ₂ = t ^{– 1}RC ; ₃ = t ^{– 1}R ^{- 1} .

14. Критерии подобия, определяемые методом нулевых степеней на примере движения ракеты в вязкой жидкости.

F_c = f (V,D, , ). ->  (V ^a, D ^b,  ^c,  ^d) = F_c .

[(LT^-1)^a, L^b, (ML^-3)^c , (MT^-1L^-1)^d] = MLT^-2 . ->

для M – c + d = 1,

для L – a + b - 3c - d = 1,

для T - a - d = 2.

c = - d +1; b = 2 - d; a = 2 - d.

 (V^2-d, D^2-d_, ^1-d, ^d) = F_c.

или в нормальной форме C_x =  ( Re ) ,

где C_x – коэффициент лобового сопротивления, - число Рейнольдса.