- •Понятие моделирования (модель, моделирование, подобие). Материальные модели.
- •Мысленное моделирование.
- •Математическое моделирование
- •Модели интерпретации и модели аналогии
- •Основные понятия анализа размерностей.
- •Подобие явлений и его признаки
- •Первая теорема подобия
- •Вторая теорема подобия
- •Третья теорема подобия
- •Определение критериев подобия определяемых путем привидения физического процесса к безразмерному виду.
- •Определить критерий подобия математического маятника, который описывается уравнениями:
- •Критерии подобия определяемые путем формирования из размерных величин безразмерных степенных комплексов, на примере уравнения теплопроводности.
- •6. ; Получили три критерия подобия: ; ; .
- •Критерии подобия, определяемые методом нулевых степеней на примере движения ракеты в вязкой жидкости.
Первая теорема подобия
Кратко эту теорему можно сформулировать следующим образом:
у подобных процессов некоторые соотношения параметров, называемые критериями подобия, численно одинаковы.
- первый процесс,
– второй процесс.
, -> . ->
, -> , ->
, -> P1 = n1R1, P2 = n2R2, …, Pn = nnRn . ->
1 = N11 , 2 = N22,…, n = Nnn, -> . ->
, , …, , -> .
Вторая теорема подобия
Эта теорема, известная также под названием теоремы, гласит: всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено зависимостями между критериями подобия.
. -> f( P1 ,P2 ,…Pk ,…PS ,…,Pm)=0 .
->
P01 = P1 ; P02 = P2 ; ….; P0q = Pq ->
. , ->
, ….. -> .
Третья теорема подобия
Формулировка: необходимыми и достаточными условиями для создания подобия является пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия изучаемого явления.
. , ……. .
; .
Но согласно - теореме, один из m – q критериев подобия является функцией остальных и автоматически соблюдается при их равенстве. Таким образом, очевидно, что равенства m – q – 1 критериев вполне достаточно для обеспечения возможности подобия процессов.
Величины, характеризующие однозначность процесса, обязательно входят в дифференциальное уравнение, если оно полное. Тогда можно формулировать третью теорему так: подобие любых двух систем создается при пропорциональности всех сходственных величин в этих системах и равенстве m – q – 1 критериев подобия, определенных согласно - теореме из полного уравнения (системы уравнений) процесса.
Определение критериев подобия определяемых путем привидения физического процесса к безразмерному виду.
Данный способ является наиболее простым и поэтому часто применяется на практике. Он основывается на известном свойстве физических уравнений, который состоит в том, что все члены уравнения физического процесса имеют одинаковые размерности относительно основных единиц измерения.
Запишем уравнение для вертикальной оси в следующем виде
,
где D = d /dt , Dx = d / dx , Dy = d / dy , Dz = d /dz - операторы дифференцирования.
Делением на последнее слагаемое левой части придаем уравнению безразмерную форму
, , ,
, , , .
С учетом равенств [Dt] = [t-1] , [DX] = [x-1] , [DY] = [y-1] , [DZ] = [z-1] и выражений
X=x / l0 , Y = y / l0 , Z = z / l0 , VX =x /0 , VY = y / 0 , VZ = z / 0 получаем , , , ,
, , , .
Получаем: 1 = l0 /(0 t); 2 = gl0 / 2 ; 3 = p / (2); 4 = .(l0)
Используя рассмотренный метод получения критериев подобия, можно при решении ряда задач сократить число определяющих критериев за счет соответствующего выбора масштабов приведения.