2.3 Определитель матрицы.

Правила:

1. Определитель существует только у квадратной матрицы.

2. Определитель не изменится, если к одной из строк матрицы прибывать другую, умноженную на число.

3. Если в матрице поменять 2 строки местами, то знак определителя сменится на противоположный.

4. Если все элементы строки матрицы умножить на число, то и определитель будет умножен на это число.

5. Если в матрице есть нулевая строка, то определитель равен нулю.

Способы нахождения определителя:

1. Матрица 2х2:

= a*d – b*c

2. Матрица 3х3:

= + + - - -

Определитель матрицы 3х3 равняется сумме произведений элементов матрицы, обозначенных выше.

3. Общий метод (метод миноров и алгебраических дополнений)

Чтобы найти определитель любой матрицы нужно выбрать строку/столбец, содержащую/ий наибольшее кол-во нулей (так удобнее). И далее раскладывать определитель по элементам строки/столбца:

+…

Где i – номер строки, j – номер столбца, - элемент матрицы стоящий в i–той строке, j-том столбце, - определитель матрицы, остающийся после вычеркивания из матрицы А i–той строки, j-того столбца.

Повторить с каждым элементом выбранной строки/столбца.

Примеры:

3.12(д) = 2*3*10+0*16*0+5*1*(-1) – 5*3*0 – 2*16*(-1) – 1*0*10= 87

3.19(з) . Вычислим этот определитель, разложив по элементам второго столбца (т.к. в нем больше всего нулей):

= - 3*(2*4*2+3*1*3+1*3*2 – 3*4*1 – 2*2*1 – 3*3*2) + 2*(2*1*1+3*0*3+1*(-1)*4 – 3*1*1 – 2*4*0 – 1*(-1)*3)=5

2.4 Обратная матрица.

Матрица, обратная матрице 2х2.

Общий вид.

Чтобы найти обратную матрицу необходимо отдельно найти каждый ее элемент.

Где i – номер строки, j – номер столбца, - элемент обратной матрицы стоящий в i–той строке, j-том столбце, - элемент матрицы А, стоящий в j-той строке, i-ом столбце (т.е. наоборот), - определитель матрицы, остающийся после вычеркивания из матрицы А j–той строки, i-того столбца. Можно заметить, что - лишнее, но, записывая его, вы делаете себе напоминание, что из матрицы мы «вычеркиваем» j–тую строку, i-тый столбец, а не наоборот, для получения матрицы В.

Пример:

3.20(д) Найти матрицу, обратную .

2*2*1 – 1*(-1)*(-1)+0*0*(-1) – 0*2*(-1) – 0*(-1)*1 – 2*(-1)*(-1)=1

Ответ:

2.5 Совместность. Зависимость. Базис

I) Теорема Кронекера – Копелли: система уравнений (матрица) называется совместной, если rang A=rang B. Где А – матрица слева от черты, а В – вся матрица полностью, т.е.:

Пример:

При каких значениях параметра а система уравнений совместна: С= ?

.

Матрица А= , а ее ранг = 2. Матрица В= , а ее ранг равен 2, если а+4=0, и равен трем, если а+4 0. Исходя из теоремы, а= 0.

2. Система векторов называется зависимой, если определитель матрицы, составленной по этой системе, равен нулю или если после приведения к треугольному виду она имеет нулевую строку (одно из двух).

Пример:

3.13. При каких значениях параметра произвольный вектор в пространстве R³ можно разложить по векторам , , ?

Запишем систему векторов в виде матрицы: . Чтобы в этом пространстве можно было разложить любой вектор, необходимо, чтобы их система была независима, а значит определитель нашей матрицы не должен равняться 0.

=

=>

2. Задачи на базис:

3.10. В линейном пространстве симметричных матриц 2х2 найдите координаты элемента в базисе , , .

= + + =

=>

2(x+y)+x+z=2 <=> 2+x – 2=2 => x=2, y= - 1, z= - 2.

Ответ: (2;-1;-2).

P.S. чтобы доказать, что эти векторы – базис, нужно записать полученную систему уравнений в виде матрицы, привести ее к треугольному виду, если она не содержит нулевых строк – это базис.