1.6 Задачи на проекцию.

Совет:

Проекция точки – это точка, которая образует с первоначальной прямую, перпендикулярную на проецируемый объект. Задачи на проекцию точки решаются следующим образом: нужно превратить проекцию в точку пересечения прямой и плоскости, т.е. если мы проецируем на плоскость, необходимо провести через наши 2 точки прямую, а если проецируем на прямую, соответственно необходимо провести плоскость через эти две точки.

2.24. Найдите координаты проекции точки P(-1, 2, 0) на плоскость 4x-5y-z-7=0.

Решение:

Проекция точки P на плоскость – это некая точка , лежащая на плоскости и образующая вектор , перпендикулярный плоскости. Сделаем чертеж:

Из уравнения плоскости «вытащим» вектор (4;-5;-1), перпендикулярный ей и параллельный . Итак, у нас есть вектор , параллельный и точка Р. Можно заметить, что мы можем записать уравнение прямой :

Теперь наша задача свелась к предыдущей: нам нужно найти точку пересечения прямой и плоскости - .

<=> 4*( -1+4t) -5*(2-5t)+t -7=0<=> 42t=21 => t=0,5 => x=1, y= - 0,5, z= - 0,5

Ответ: Р₁(1; -0,5; -0,5)

1.7 Задачи на симметрию.

Совет:

Решая задачи на симметрию точки, чаще всего лучше найти координаты точки О – середины отрезка, соединяющего симметричные точки, а затем найти координаты симметричной точки по формуле 2 из пункта 1.1. Фактически, точка О – это проекция исходной точки и найти ее координаты можно как в предыдущей задаче.

2.33. Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости .

Решение:

Сделаем чертеж:

Точка называется симметричной данной относительно плоскости, если: перпендикулярен этой плоскости и делится ей пополам. Сделаем чертеж:

Пусть точка О - середина , тогда ясно, что если мы найдем ее координаты, то найдем и координаты , так задача сводится к предыдущей. Найдем точку О:

<=> 2*2t – 1+t – 2*(3-2t) – 2=0 <=> 9t=9 => t=1 => x=2, y=0, z=1.

Зная, что координаты середины отрезка О , получаем:

<=> =4, =1, = - 1

Ответ: (4;1;-1)

Глава II. Матрицы

2.1 «Тривиальные» действия

1. Сложение-вычитание матриц.

При сложении/вычитании матриц мы складываем/вычитаем соответствующие элементы. Пример: , , тогда: ; .

2. Умножение матрицы на число.

При умножении матрицы на число мы умножаем каждый ее член на это число.

Пример:

, тогда: 2*С= .

3. Умножение матриц.

3.6(а) , , С= А*В - ?

Для того чтобы найти новую матрицу, необходимо найти каждый ее элемент. Для этого нужно перемножить почленно строки и столбцы первой и второй матрицы (порядок важен), т.е. элемент первой строки первого столбца новой матрицы будет равен почленному произведению первой строки матрицы А и первого столбца матрицы В и т.д.:

.

Пример:

3.5. Найдите , если и . Т.е. необходимо найти А*А – 3*А.

Решение:

= .

2.2Ранг матрицы

Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения ее к треугольному виду, т.е. .

Элементарные преобразования матриц, не меняющие ее ранг:

1. Умножение ряда на число, отличное от 0.

2. Перестановка двух рядов, двух столбцов.

3. Прибавление к одному ряду другого, умноженного на число.

Чтобы привести к треугольному виду:

1. «Передвиньте» вверх строку, на которую лучше всего домножать и которую легче всего вычитать (лучше всего строку, состоящую из наибольшего числа единиц).

2. Вычитаем из каждой строки первую (можно другую, если проще), умноженную на такие числа, что первый элемент этих строк обращался в нуль.

3. Вычитаем из третьей и более строк вторую (можно третью и ниже), умноженную на такие числа, что первый и второй элементы этих строк обращались в нуль. И т. д.

Пример:

3.7. Найдите ранг матрицы: в) ;

1) «Передвигаем» вверх строчку, которую удобнее вычитать: уже сделано.

2) <=> <=> <=> => rang=2.