1.3 Задачи на нахождение уравнения прямой/плоскости.
Советы:
Сделай чертеж.
Определи, что дано (точки и векторы, если есть что-то еще (например, уравнение еще одной прямой) «вытащи» векторы, точки не нужны).
Определи, какие из двух необходимых объектов нужно найти (если есть оба, то задача решена).
Пытайся найти недостающие элементы.
Примеры:
2.1.
Напишите уравнение плоскости, проходящей
через точку
перпендикулярно вектору
,
где
и
.
Решение:
Делаем чертеж:
Дано: координаты точки, лежащей на плоскости; координаты точек образующих вектор, перпендикулярный искомой плоскости.
Для уравнения плоскости необходимы:
Лежащая на ней точка. (Она уже дана –
)Перпендикулярный ей вектор
.
Нужно найти координаты вектора : (-4+1; -1+3; -5+7). (-3;2;2). Уравнение плоскости: -3*(х-2) +2*(у+4) +2*(z+2)=0, т.е. -3х+2y+2z+18=0
2.8.
Напишите уравнение плоскости, проходящей
через точку
параллельно плоскости
.
Решение:
Делаем чертеж:
Дано: точка, через которую проходит плоскость и уравнение параллельной плоскости. Из уравнения параллельной плоскости получаем вектор
(5;
-3; 2), перпендикулярный ей.Нам недостает вектора, перпендикулярного искомой плоскости.
Т.к. искомая и данная плоскость параллельны, то вектор, перпендикулярный данной плоскости будет вектором, перпендикулярным искомой плоскости, т.е. вектор (5; -3; 2) – искомый.
Уравнение искомой плоскости: 5*(x-2) – 3*(y-3)+2*(z+1)=0, т.е. 5x-3y+2z+1=0.
1.4 Задачи на угол м/у прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.
Совет:
Любой угол в задачах подобного типа находится через косинус угла м/у векторами, которые можно извлечь из уравнения прямых, плоскостей, которые даны в условии.
P.S. в задаче, где нужно найти угол между прямой и плоскостью найденный угол нужно вычесть из 90 градусов, чтобы получить ответ (сделайте чертеж, если не верите).
2.10.
Найдите
угол между плоскостью
и
.
Решение:
Делаем чертеж:
Определим,
что можно «вытащить» из этих уравнений:
векторы
(1;2:-2)
и
(1;1;0), перпендикулярные данным плоскостям.
Можно заметить (сделав чертеж, например), что угол между плоскостями равен углу между перпендикулярными этим плоскостям векторами ( и ). Найти этот угол легко по формуле: = .
Итак,
=
.
P.S. косинус угла между прямыми и плоскостями всегда больше либо равен нулю. Поэтому если получили отрицательное значение, в ответ идет то же число, но без минуса.
1.5 Задачи на точку пересечения прямых, прямой и плоскости.
Совет:
Точка пересечения всегда лежит на двух объектах, это значит, что если мы подставим ее координаты в уравнения, то получим верное равенство в каждом. Это позволяет нам записать систему от уравнений прямых и плоскостей, которые нам даны.
P.S. в случае, когда у нас пересекаются 2 прямые, мы записываем систему из 6 уравнений (по три на одну прямую) и учитываем, что для каждой прямой t разное.
2.20.
Найдите
точку пересечения прямой
и плоскости x
– 3y
+ z
– 8 =0.
Решение:
Ответом к задаче будет являться точка с координатами x,y,z, при подстановке которых в любое из двух данных уравнений мы получим верное равенство. Учитывая это и записав уравнение прямой через систему получим:
Итак, мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, которую можно решить:
Подставляем значения x,y,z через t в последнее уравнение, получаем:
1+t – 3*(-5+4t)+1+2t-8=0 <=> -9t=9 <=> t= - 1 => x=0, y= - 9, z= - 1.
Ответ: точка М(0; - 9; - 1).