30. Проверка однородности дисперсий

П ри использовании стандартных методов дисперсионного анализа должно удовлетворяться условие равенства дисперсий остаточных случайных величин. Если нет уверенности в том, что данное условие выполняется, следует проводить проверку однородности дисперсий. Например, в модели однофакторного дисперсионного анализа

может понадобиться проверить, изменяется ли D[ε_ij] = σ_i² в различных группах, т. е. проверить гипотезу

σ₁² = σ₂² = … = σ_k²

Критерий Бартлетта

П усть из k совокупностей взяты выборки объемами n₁, n₂, ...n_k и получены оценки дисперсии:

Т огда для объединенной оценки дисперсии при справедливости нулевой гипотезы H₀: σ₁² = σ₂² = … = σ_k² получим:

Бартлетт доказал, что, если справедлива нулевая гипотеза, то статистика

при N → ∞ асимптотически имеет распределение χ² с k−1 степенями свободы.

Однако этот критерий слишком чувствителен к отклонению распределений совокупностей от нормальности, поэтому значимость статистики U² может указывать не на отсутствие однородности дисперсий, а просто на отклонение от нормальности.

Критерий Кочрена основан на статистике:

при этом объемы выборок, по которым рассчитаны s_j², должны быть одинаковы.

Распределение этой статистики известно точно и зависит только от числа степеней свободы n−1 и количества выборок. Нулевая гипотеза H₀: все σ_j² равны отвергается с уровнем значимости α, если значение статистики G > Gкр. Критическое значение статистики находят по таблицам процентных точек распределения Кочрена.

31. Непараметрические методы факторного анализа. Ранговый однофакторный анализ.

В ряде случаев предположение о нормальности закона распределения остаточных случайных величин в моделях, описанных в дисперсионном анализе, не выполняется. Более того, этот закон оказывается неизвестным. Тогда используют различные непараметрические методы проверки однородности нескольких выборок, из которых наиболее разработаны ранговые методы.

Обозначив через r_ij ранг значения x_ij, который получит это значение при упорядочении всей совокупности данных в порядке возрастания, придем к следующей таблице данных.

В рамках ранговых критериев нулевая гипотеза формулируется как гипотеза о том, что все k выборок (столбцов таблицы) являются выборками из одного и того же распределения.

Строго говоря, если нулевая гипотеза отвергается, то можно только утверждать, что распределения совокупностей различны. Это, однако, не означает, что их средние не равны между собой. Для вывода о том, что выборки производились из совокупностей с различными математическими ожиданиями, необходимо предположить, что эти совокупности одинаковы по всем другим параметрам.

Критерий Краскела-Уолллиса.

В ычислим при каждом значении фактора A_j, т. е. для j-го столбца таблицы рангов, значения средних рангов R._j

Если между столбцами нет систематических различий, то средние ранги R._j не должны значительно отличаться от среднего ранга, рассчитанного по всей совокупности рангов.

Общее число наблюдений N = n₁ + n₂ + … n_k. Для объединенной группы рангами являются числа 1, 2, ..., N и общая сумма рангов равна:

Тогда средний ранг для объединенной группы равен:

Далее найдем величину, аналогичную межгрупповой сумме квадратов отклонений

Величина СК_R зависит от размеров групп. Чтобы получить показатель, отражающий их различия, следует поделить СК_R на N(N +1)/12. Полученная величина

является значением критерия Краскела-Уолллиса.

Д ругая форма записи этой статистики, удобная для вычислений, имеет вид

где – сумма рангов j-го столбца.

При больших объемах выборок, которые находятся за пределами таблиц, случайная величина H при справедливости нулевой гипотезы приближенно распределена по закону χ² с k − 1 степенями свободы. Поэтому в этом приближении нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости α, если вычисленное по данным значение статистики H больше χ²_k−1;α – α процентной точки распределения χ² с k−1 степенями свободы.

Е сли в таблице данных есть совпадающие значения, необходимо при их ранжировании и переходе к таблице рангов использовать средние ранги. Если совпадений много, то рекомендуется применять модифицированную форму статистики H:

где g – число групп совпадающих наблюдений; T_j = (t_j³ − t_j ); t_j – число совпадающих наблюдений в группе с номером j.