§ 9. Применение алгебры высказываний к анализу и синтезу электрических схем.
На множестве переменных высказываний x1, x2, ..., xn, принимающих два значения И и Л. Мы ввели пять логических операций, которые позволяют получать всевозможные формулы алгебры высказываний, принимающие также два значения - И и Л.
В связи с этим любую формулу алгебры высказываний от n переменных F(x1, x2, ..., xn) можно рассмотреть как функцию f(x1, x2, ..., xn), каждый аргумент которой принимает значение из {И, Л} и сама функция принимает значения также из этого множества. Такие функции в математической логике называются функциями алгебры логики или булевыми функциями по имени английского математика Джорджа Буля, который первым начал применять математические методы в логике (1815 - 1864).
Возникает вопрос: каково практическое значение алгебры высказываний и в частности формул алгебры высказываний?
В повседневной жизни мы используем различные электрические приборы. В основе этих приборов лежат электрические схемы, на базе которых приборы строятся.
1. Пусть произвольному высказыванию xi, принимающему два значения И и Л, поставлен во взаимнооднозначное соответствие некоторый прибор Pi, который в данный отрезок времени ti либо работает, либо не работает.
xit pi
2. Каждой конъюнкции x1 x2 поставим во взимнооднозначное соответствие последовательное соединение приборов p1 и p2.
x
1
x2
3. Каждой дизъюнкции x1 x2 поставим во взаимнооднозначное соответствие параллельное соединение приборов p1 и p2.
x1 x2
Тогда любой формуле алгебры высказываний F(x1, x2, ..., xn) можно поставить во взаимнооднозначное соответствие электрическую схему S(p1, p2, ..., pn) некоторого сложного электрического устройства.
Так как формулы алгебры высказываний можно упрощать, то алгебра высказываний позволяет производить упрощение электрических схем.
Составление электрических схем называют синтезом схем, упрощение - анализом схем.
Алгоритм упрощения электрических схем
1. Составляем для данной электрической схемы S сответствующую эй формулу алгебры высказываний F.
2. Полученную формулу F с помощью равносильных преобразований приводим к более простой формуле F1.
3. Для формулы F1 составляем соответствующую электрическую схему S1, которая и будет упрощенной схемой для S.
Пример. Упростить, если возможно, электрическую схему S.
В соответствии с записанным алгоритмом производим работы.
1. Составляем для схемы S соответсвующую формулу F
S
2. Упрощаем полученную формулу F
3. Для формулы
составляем соответствующую схему S1
X1
S1
X2
Заметим, что алгебра высказываний позволяет не только упрощать электрические схемы, но и анализировать работу таких схем на основании следующего алгоритма. Чтобы установить, при работе каких приборов данная схема S проводит или не проводит ток, поступают так.
1. Составляют для данной схемы S соответствующую ей формулу алгебры высказываний F.
2. Для полученной формулы F составляют таблицу истинности.
3. Анализируя таблицу истинности, устанавливают, при работе каких приборов данная схема работает или не работает.