35)Непрерывность сложной функции и обратной функции.

Пусть функ. j(t) непрерывна в точке t0 и функ. f(x) непрерывна в точке х0=j(t0). Тогда функ. f(j(t)) непрерывна в точке t0.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t0. <

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t0)|<d может быть записано как |x-x0|<d , и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t0 в первом кванторе стоит буква d . Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения

Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

Обратная

Пусть -- функ, непрерывная на отрезке [a,b].Предположим, что f(x) монотонна на [a,b]; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из следует, что

Тогда образом отрезка [a,b] будет отрезок [c,d], где c=f(a), d=f(b)(действительно, непрерывная функ. принимает любое промежуточное между f(a), f (b)значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому сущ. обратная к y =f(x) функ. функ., действующая из [c,d]в [a,b].Очевидно, что монотонно возрастает. (Если бы функция f была монотонно убывающей, то и обратная к ней функ. тоже была бы монотонно убывающей.)

Теорема. Пусть f -- непрерывная монотонная функция, .Тогда обратная к f функ. непрерывна на отрезке [c,d].

Непрерывность элементарных функций

Все элементарные функ. явл. непрерывными в любой точке свой области определения.

Функ.наз. элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций

(с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функ. Множество основных элементарных функ. вкл. в себя:

1.Алгебраические многочлены

2.Рациональные дроби

3.Степенные функ. x^p

4.Показательные функ. a^x

5.Логарифмические функ.

6.Тригонометрические функ.

7.Обратные тригонометрические функции

36)

Теорема 1. Сумма и произведение конечного числа непрерывных на некотором множестве функ. есть функ., непрерывная на этом множестве.

Пусть f(x) и g(x) – непрерывны в точке х₀ , тогда

,    ,

.

Функция y=f(x)+g(x) непрерывна в точке х₀.

Теорема 2. Частное от деления двух непрерывных на множестве функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля.

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функ. достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Непрерывность функ. на отрезке

Функ. f(x) наз. непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функ. f(x) наз. непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Замечание. Функ., непрерывная на отрезке [a,b] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)

Множество функ., непрерывных на отрезке [a, b] обозначается символом C[a, b].

Свойства функ., непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функ. f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О[a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функ. f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. сущ. точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b] (рис.2).

Наибольшее значение M обозначается символом max_{x О [a, b]} f(x), а наименьшее значение m — символом min_{x О [a, b]} f(x).

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функ. f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функ., удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX (рис.3).

Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b).

Существование непрерывной обратной функции

Пусть функ. y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [α, β] ( α = f(a), β = f(b) ) существует обратная функция x = g(y), также строго монотонная и непрерывная на отрезке (α , β).

Теорема Больцано-Вейерштрасса

 Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

     Доказательство. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x.

     Замечание 1. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

     В самом деле, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

     Замечание 2. Пусть {x_n} - ограниченная последовательность, элементы которой находятся в сегменте [a, b]. Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности   также находится на сегменте [a, b].

     Действительно, так как  , то в силу следствия 2 выполняются неравенства a ≤ c ≤ b. Это и означает, что c находится на сегменте [a, b].

     Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной последовательности также можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, последовательность 1, 1/2, 2, 1/3, ..., n, 1/(n+1), ... неограниченная, однако подпоследовательность 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... ее элементов с четными номерами сходится. Но не из каждой неограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, любая подпоследовательность неограниченной последовательности 1, 2, ..., n, ... расходится. Поэтому теорему Больцано-Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распространить на неограниченные последовательности.