1)Полярная система

Полярная система координат задаётся т.О,наз.полюсом,лучом Ор,наз.полярной осью,и единичным вектором того же направления,что и луч Ор.

Положение т.М на плоскости определяется двумя числами :её расстоянием r от полюса О и углом образованным отрезком ОМ с полярной осью и отсчитываемым в положительном направлении.

r

M(r, )

p

O

Числа r и наз.полярными координатами т.М: r наз.полярным радиусом,

Системы координат в пространстве: декартовы

Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O , положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

2)Общее ур.прямой: Ax +By+C=0 (A,B.C-постоянные коэффициенты,причём Аи В одновреммено не обращаются в 0

Ур.прямой с угловым коэффициентом имеет вид у=kx+b(k-угловой коэф.прямой,b-ордината точки пересечения прямой с осью Оу)

Нормальное ур.прямой (р-длина перпендикуляра,опущ. из начала координат на прямую, -угол,кот. этот перпендикуляр образует с полож. направлением оси Ох

3)Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший из двух смежных углов,образованными этими прямыми

Если прямые заданы урав.с угловыми коэф. У= x+ и у= x+ то угол между ними выч. По фор.

Tg =

Условие параллельности прямых имеет вид

, а условие их перпедикулярности

Если прямые заданы общими ур. x+ y+ и x+ y+ ,то величина угла между ними выч. по фор. tg ,условие их параллельности

Для нахождения общих точек прямых димо решить систему ур.

4)Расстоянием d от точки ) до прямой x+ y+ наз.длина перпендикуляра ,опущенного из этой точки на прямую

Расст.d опред.по фор.d=

Расст.от точки до прямой выч. по форм.

d=

5)Кривые второго порядка

Линии,определяемые алгебраическими ур.второй степени относительно переменных х и у ,т.е ур.вида А +2 Вху+С +2Dx+2Ey+F=0,наз.кривыми второго порядка

Окружностью наз.множество всех точек плоскости,удалённых от заданной т.А на одно и тоже расстояние R. т.А наз.центром,а R-радиусом окружности

Ур.окружности имеет вид + = (каноническое урав.окружности).Если а=0,b=0,то ур.имеет вид

Эллипсом наз.множество всех точек плоскости,сумма расст. от каждой из кот. до двух данных точек,наз.фокусами,есть величина постоянная,большая,чем расст. между фокусами

Каноническое ур.эллипса: =1,где а-большая полуось,b-малая полуось эллипса

Точки А,В,С наз. вершинами эллипса,т.О-центром эллипса,расстояние от произвольной точки М эллипса до его фокусов наз.фокальными радиусами этой точки

Эксцентриситетом эллипса наз.отношение фокусного расстояния 2с к большой оси 2а:

Фокальные радиусы опред.формулами ,

Директрисами эллипса наз. параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии,равном ,ур.директрис:x= и x=

1)Если а=b,то ур. =1 определяет окружность

2)ур.эллипса с осями,параллельными координатным,имеет вид

3)ур. t

Гиперболой наз.множество всех точек плоскости,модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек,наз.фокусами,есть величина постоянная,меньшая,чем расстояние между фокусами

Каноническое ур.гиперболы: =1,где а –действительная,b-мнимая полуось гиперболы

Точки Аи В наз.вершинами гиперболы,т.О-центром гиперболы,расстояния от произвольной т.М гиперболы до её фокусов наз.фокальными радиусами этой точки

Число ,наз.эксцентриситетом гиперболы

Прямоугольник,центр которого совпадает с т.О,а стороны равны и параллельны осям гиперболы наз.основным прямоугольником гиперболы.Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых,наз.асимптотами гиперболы,они определяются ур.у= x

Две прямые параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от неё на расстоянии,равном ,наз.директрисами гиперболы.их ур. x= и x=

Параболой наз.множество всех точек плоскости,каждая из которых равноудалена от заданной точки,наз.фокусом и заданной прямой ,наз.директрисой

Каноническое ур.параболы имеет вид

=2рх,где число р>0,равное расстоянию от фокуса F до директрисы l,наз. Параметром параболы.Координаты фокуса F( )Точка О(0,0)наз. Вершиной параболы,длина r отрезка FM-фокальный радиус т.М,ось Ох-ось симметрии параболы

Ур.директрисы l параболы имеет вид х=- ,фокальный радиус выч.по фор.r=x+

6)Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически. (Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»). Предположим, что a = AB and b = CD ,

тогда вектор a + b = AB + CD

есть результат выполнения двух операций

a) параллельного переноса одногоиз векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;

б) геометрического сложения, т.е. построения результирующего вектора, идущего от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора.

Законы умножения вектора на число.

I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m · 0 = 0 , ( –1 ) · a = – a .

II. m a = a m , | m a | = | m | · | a | .

III. m ( n a ) = ( m n ) a . ( С о ч е т а т е л ь н ы й закон умножения на число ).

IV. ( m + n ) a = m a + n a , ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й

m ( a + b ) = m a + m b . закон умножения на число ).

Законы сложения.

I. a + b = b + a ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон ).

II. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( С о ч е т а т е л ь н ы й закон ).

III. a + 0 = a .

IV. a + (– a ) = 0 .

7)Скалярным произведением двух ненулевых векторов наз.число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

= *

Свойства скалярного произведения:

1. – переместительное свойство;

2. – скалярный квадрат вектора;

3. – распределительное свойство;

4. – сочетательное свойство относительно числового множителя.

8)Ось – это прямая, кот. придается какое–то направление.dектор с бесконечно большим модулем.  Ось обозначается какой-либо буквой: X , Y , Z , s , t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, кот. наз. началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до др/интересующих нас точек.  Проекция точки на ось - это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось (рис. 8). То есть, проекцией точки на ось является точка. 

Рис. 8

Координата точки - это число, абсолютная величина кот. равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.  Скалярная проекция вектора на ось - это число, абсолютная величина кот. равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция, то есть слово скалярная опускают. Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектор а, то его проекция обозначается а_x. При проектировании этого же вектора на другую ось, скажем, ось Y , его проекция будет обозначаться а_y (рис. 9).

Рис. 9

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а_x = х_к − x_н.

Надо помнить: проекция вектора на ось - это число! Причем, проекция может быть положительной, если величина х_к больше величины х_н, отрицательной, если величина х_к меньше величины х_н и равной нулю, если х_к равно х_н (рис. 10).

Рис. 10

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.  Из рисунка 11 видно, что а_x = а Cos α то есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора. Если угол острый, то  Cos α > 0 и а_x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Рис. 11

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против. При решении задач часто будут использоваться следующие свойства проекций: если  а = b + c +…+ d , то а_x = b_x + c_x +…+ d_x (аналогично на другие оси),если  a = mb, то а_x = mb_x (аналогично на другие оси).

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

10. )Линейным пространством пространство над полем  — это непустое множество , на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля ), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);

2. , для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;

4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества называют векторами, а элементы поля  — скалярами.

Система векторов e1,e2, ..., ek линейного пространства L наз. линейно независимой системой, если равенство С1·e1+С2·e2+ ...+Сk· ek = 0 возможно только когда все коэффициенты С1, С2, ..., Сk равны нулю.

Здесь 0 — нулевой вектор линейного пространства L, С1, С2, ..., Сk — числовые коэффициенты. Если система векторов e1,e2, ..., ek линейного пространства L не явл. линейно независимой системой, то она наз. линейно зависимой системой векторов.Если векторы скалярное произведение кот. равно 0,наз.ортогональными

     Критерий линейной зависимости векторов

     Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.