2. Основы статистической физики

Газы состоят из огромного числа молекул, движение которых хаотично и сопровождается массовыми столкновениями. В результате каждого акта столкновения между молекулами их скорости меняются случайным образом. Вследствие невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным (с точностью до флуктуаций). Распределение молекул по скоростям было установлено Максвеллом в 1860 г.

Максвелловское распределение молекул по скоростям и энергиям

В случае идеального газа число молекул в единице объема, имеющих значение компоненты скорости в интервале от v_x до v_x + dv_x может быть представлено в виде:

.

Это выражение, деленное на общее число молекул n в единице объема, дает вероятность того, что молекула имеет компоненту скорости в интервале от v_x до v_x + dv_x

.

Таким образом, функция является плотностью данной вероятности. Поскольку для газа в целом направление движения молекул можно считать случайным, то функция является гауссовой функцией распределения случайной величины и имеет следующий вид:

, (2.1)

где A и  некоторые постоянные. График этой функции показан на рис. 2.1.

Рис. 2.1

Аналогично определяются вероятности для двух других компонент и скорости молекулы:

,

.

В силу равноправности всех направлений движения молекул вид функций , и должен быть одинаковым, эти функции отличаются лишь обозначением аргумента.

Максвелл предположил, что вероятность различных значений одной из компонент скорости, например v_x , не зависит от того, какова величина двух других компонент (в данном случае v_y и v_z ). Поэтому вероятность того, что компоненты скорости некоторой молекулы имеют значения, лежащие в интервале от v_x , v_y , v_z до v_x + dv_x , v_y + dv_y , v_z + dv_z равна произведению вероятностей , и :

Для определения распределения молекул по значениям модуля скорости v возьмем в воображаемом пространстве прямоугольные координатные оси, по которым будем откладывать значения v_x , v_y , v_z отдельных молекул (имеются в виду компоненты скорости по осям x, y и z, взятым в обычном пространстве). Такое воображаемое пространство будем называть v – пространством. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве. Из-за столкновений положение точек будут непрерывно меняться, но их плотность в каждом месте будет оставаться неизменной.

Рис. 2.2

Вследствие равноправности всех направлений движения молекул расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Следовательно, плотность точек в v – пространстве может зависеть только от модуля скорости v .Тогда точки, изображающие скорости, величина которых заключена в интервале от v до v + dv , попадают в область, лежащую между сферами радиусов v и v + dv (рис. 2.2). Объем этой области равен . Следовательно, вероятность того, что молекула имеет скорость в интервале от v до v + dv , равна

где

– (2.2)

– плотность вероятности того, что молекула имеет скорость в интервале от v до v + dv.

Функция называется функцией распределения Максвелла молекул по скоростям.

Постоянная А определяется из условия нормировки:

, (2.3)

которое выражает тот факт, что полная вероятность равна 1. Расширение пределов интегрировании от v_max до + и от v_min до - не вносит ощутимой ошибки, поскольку подинтегральная функция убывает с ростом v_x столь быстро, что при достаточно больших v_x она практически не отличается от нуля.

В математике доказывается, что

. (2.4)

Этот интеграл называется интегралом Пуассона. С учетом (2.4) получим , откуда следует, что .

Подстановка найденного значения А в (2.1) и (2.2) приводит к формулам

, (2.5)

. (2.6)

Чтобы найти постоянную , вычислим с помощью функции (2.5) среднее значение v_x²

.

Используя интеграл Пуассона (2.4), можно получить, что

. (2.7)

Тогда

. (2.8)

С другой стороны средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул равна

,

откуда следует, что

.

Вследствие равноправности всех направлений движения молекул выполняется равенство .

С учетом этого находим

. (2.9)

Сравнивая(8) и (9), находим значение постоянной 

.

Теперь можно написать окончательное выражение для функции распределения Максвелла молекул по скоростям:

, (2.10)

а также формулу для числа молекул в единице объема, имеющих скорость в интервале от v до v + dv

, (2.11)

которая и представляет собой максвелловское распределение молекул по скоростям.

На рис. 2.3 построены кривые распределения Максвелла для двух температур ( ). По оси абсцисс отложены скорости v молекул, а по оси ординат величина , равная числу молекул в единице объема, имеющих скорости в единичном интервале скоростей. Как видно из рисунка с увеличением температуры максимум кривой распределения смещается в сторону больших скоростей, а высота кривой в максимуме несколько понижается.

Рис. 2.3

Для выяснения физического смысла кривой Максвелла возьмем на графике узкую полоску, которую можно считать прямоугольной. Ее площадь равна:

,

т.е. числу молекул в единице объема, имеющих скорость в интервале от v до v + dv. Тогда площадь под всей кривой Максвелла равна полному числу n молекул в единице объема.

График функции распределения Максвелла молекул по скоростям имеет аналогичный вид, но теперь площадь под кривой равна 1. То, что площадь под кривой на графике равна 1, означает, что имеет место условие нормировки:

.

Функция очень важная величина в теории вероятности, поскольку она позволяет вычислить среднее значение любой физической величины, являющейся функцией скорости v.

От распределения молекул по скоростям v можно перейти к распределению молекул по их кинетической энергии . Для этого надо в распределении (2.11) молекул по скоростям выразить v и dv через  и d:

, .

Производя вычисления, получим максвелловское распределение молекул по кинетическим энергиям

. (2.12)

Аналогично вводится функция , которая является плотностью вероятности того, что молекула имеет кинетическую энергию в интервале от  до  + d и которая называется функцией распределения Максвелла молекул по кинетическим энергиям:

(2.13)

Рис. 2.4

Графики функций для двух температур ( ) приведены на рис. 2.4.