28. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух совместных событий есть сумма их вероятностей минус вероятность их произведения. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). В случае трёх событий имеем: Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)-Р(АВС)

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие произошло. Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А). В случае m событий формула имеет вид: P(A1*…An)=P(A1)*P(A2/A1)*P(A3/A1A2)*…*P(An/A1A2*…An-1). Событие А наз-ся независимым от условия В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. В этом случае правило умножения примет вид: P(AB)=P(A)*P(B). В случае n независимых событий имеем: P(A1*A2*…*An)=P(A1)*P(A2)*…*P(An)

29. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула полной вероятности. Теорема. Вероятность события А, кот. может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий В1, В2, …Вn образующих полную группу равна сумме произведений вероятностей каждой их гипотез на соответствующую условную вероятность события А: P(A)=P(B1)*P(A/B1)+P(B2)*P(A/B2)+…+P(Bn)*P(A/Bn). Формула Байеса. Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …Bn кот. образуют полную группу. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса: Pa(Bi)=(P(Bi)*P(A/Bi))/P(A)

30. Формула Бернулли

Вероятность того, что в n независимых испытаний в каждом из кот. вероятность появления события равна р, событие наступит ровно k раз равна: Pn(k)= , где q=1-p. Схема Бернулли: Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз: Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(k-1). b) более k раз: Pn(k+1)+Pn(k+2)+…+Pn(n). c) не менее k раз: Pn(k)+Pn(k+1)+…+Pn(n). d) не более k раз: Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(n).

31. Локальная и интегральная теоремы Муавра- Лапласа.

Локальная теорема. В случае, когда npq>9 для расчетов используют приближения по теореме Муавра-Лапласса: -> . Интегральная теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из кот. вероятность пояления событий равно р, событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз приближ. Равна: Pn(k1;k2)=F(x”)-F(x’). Функция Лапласа: F(x)=

32. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв. Законы биномиальный и Пуассона.

Дискретной называют случайную величину(СВ) возможные значения кот. есть отдельно изолированные числа, в кот. эта величина принимает с опред. вероятностями. Законом распределения ДСВ называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Его можно задавать в виду таблицы, первая строка кот. содержит возможные значения, а вторая соответствующие им вероятности. Так же его можно задать аналитически: P(X=xi)= (xi). Третий способ задания закона- графический. Биномиальным наз-ся закон распределения дискретной случайно величины Х- числа появления события в n независимых испытаниях, в кажд. из кот. вероятность появления события равна р. В случае, когда n->

, р->0 и вероятности возможных значений Х вычисляют по формуле Пуассона, говорят что СВ распределена по закону Пуассона.