1. Элементы вариационного исчисления. Задачи, приводящие к вариационному исчислению.

Вариацио́нное исчисле́ние — это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения. Задача вариационного исчисления состоит в следующем: дан функционал J с областью определения D(J); требуется найти элемент u0 є D(J), сообщающий функционалу либо минимальное значение :

либо максимальное значение:

Будем считать, что D(J) есть часть некоторого пространства Х. Чтобы сформулировать дальнейшие ограничения, введем понятие линейного многообразия. Пусть М – линейное множество элементов пространства Х и ū – некоторый фиксированный элемент этого пространства. Линейным многообразием в пространстве Х назовем совокупность элементов, каждый из которых можно представить в виде: u = ū + η, ηєМ

Введем понятие об абсолютном и относительном минимуме функционала. Функционал J достигает на элементе u0 є D(J) абсолютного минимума, если: J(u0) = J(u).

При нахождении минимума функционала находится первая вариация функционала и приравнивается к нулю. В результате получаем необходимое условие экстремума функционала. Для проверки достаточного условия экстремума функционала находится вторая вариация функционала.

2. Элементы вариационного исчисления. Основные понятия (функционал, вариация функционала)

Вариацио́нное исчисле́ние — это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов.

Функциона́л — числовая функция, заданная на векторном пространстве. Функционал берёт в качестве аргумента элемент линейного пространства (вектор) и возвращает в качестве результата скаляр. Функционал — это функция от функций, переводящая функцию в число (действительное или комплексное).

Самый простой функционал — проекция (сопоставление вектору одной из его координат).

Виды функционалов: интегральный: , терминальный: , смешанный (функционал Больца):

Вариация функционала- обобщение понятия дифференциала функции одного переменного, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления. Используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума.

3. Простейшая вариационная задача с закрепленными границами. Понятие об экстремуме функционала.

В. з. с закрепленными границами - задача вариационного исчисления, в к-рой границы кривой, доставляющей экстремум, зафиксированы. Напр., в простейшей задаче вариационного исчисления с закрепленными границами заданы начальная и конечная точки через к-рые должна проходить искомая кривая . Учитывая, что общее решение Эйлера уравнения простейшей задачи зависит от двух произвольных постоянных кривая, доставляющая экстремум, ищется среди решений соответствующей краевой задачи. При этом может оказаться, что краевая задача имеет единственное решение, неединственное или не имеет решения.

Понятие об экстремуме функционала.

Пусть e – окрестностью кривой x*(t) являются всевозможные кривые x(t), которые в промежутке [t0,t1] удовлетворяют неравенству:

Функция x*(·) доставляет слабый экстремум min (max) в задаче ,

где x(t0) = x0, x(t1) = x1, причем x0, x1ÎRn (n-мерное пространство)

если существует окрестность и выполняется условие:

- условие min, - условие max

причем, если равенство имеет место при x(·) = x*(·), то на кривой x*(·) достигается строгий экстремум. Экстремум функционала на всей совокупности функций, на которой он определен называется абсолютным экстремумом.