8. Линейная стационарная задача оптимального быстродействия.

Система дифференциальных уравнений называется стационарной (или автономной), если она не содержит явно время : .

Задача оптимального быстродействия состоит в следующем. Пусть в фиксированный начальный момент времени объект находится в состоянии . Надо подобрать допустимое управление , переводящее его в заданное состояние за кратчайшее время: если – конечный (не фиксированный) момент времени, т.е. , то промежуток времени должен быть минимальным. Ясно, что за критерий качества следует взять интегральный критерий

с подынтегральной функцией : -

критерий оптимального быстродействия.

Таким образом, линейная стационарная задача оптимального быстродействия имеет вид

9. О возможности решения задач оптимального управления с помощью вариационного исчисления.

В некоторых случаях задачи оптимального управления можно решать методами вариационного исчисления.

Рассмотрим задачу

Без ограничения на управление эта задача представляет собой задачу Лагранжа на условный экстремум при уравнениях связи. Заметим, что интеграл функционала не зависит от производных искомых функций. Пусть из системы уравнений Эйлера-Пуассона найдены одна или несколько экстремалей .

10. Принцип максимума Понтрягина в линейной стационарной задаче оптимального управления.

Теорема (принцип максимума Понтрягина)

Пусть на отрезке при некотором постоянном n-мерном векторе допустимые значения управления (т.е. ) выбраны так, что выполняется принцип максимума Понтрягина:

При каждом фиксированном , за исключением, может быть, конечного числа значений :

1) значение функции Понтрягина является максимальным среди значений , принимаемых при всех других допустимых значениях управления :

;

2) это максимальное значение положительно:

Тогда управление на является оптимальным по быстродействию.

11. Множества. Операции над множествами.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Операции над множествами:

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).