Вопрос 20) Представление графов Способы представления графа в информатике Матрица смежности

Матрица смежности — таблица, где как столбцы, так и строки соответствуют вершинам графа. В каждой ячейке этой матрицы записывается число, определяющее наличие связи от вершины-строки к вершине-столбцу (либо наоборот).

Недостатком являются требования к памяти — очевидно, квадрат количества вершин.

• Двумерный массив;

• Матрица с пропусками;

• Не явное задание (при помощи функции).

Матрица инцидентности

Каждая строка соответствует определённой вершине графа, а столбцы соответствуют связям графа. В ячейку на пересечении i-ой строки с j-м столбцом матрицы записывается:

1 в случае, если связь j «выходит» из вершины i,

−1, если связь «входит» в вершину,

0 во всех остальных случаях (то есть если связь является петлёй или связь не инцидентна вершине)

Данный способ является самым ёмким (размер пропорционален | E | | V | ) для хранения, но облегчает нахождение циклов в графе.

Список рёбер

Список рёбер — это тип представления графа в памяти, подразумевающий, что каждое ребро представляется двумя числами — номерами вершин этого ребра. Список рёбер более удобен для реализации различных алгоритмов на графах по сравнению с матрицей смежности.

Вопрос 21) Алгоритмы на графах

Граф - это двойка <V, E>, где V - непустое множество вершин, а Е - множество ребер, соединяющих эти вершины попарно. Две вершины, связанные между собой ребром, равноправны, и именно поэтому такие графы называются неориентированными: нет никакой разницы между "началом" и "концом" ребра.

Граф Вершины Ребра (Семья Люди Родственные связи, Сеть Компьютеры Кабели, Метро Станции Пересадки)

При решении многих задач, касающихся ориентированных графов, необходим эффективный метод систематического обхода вершин и дуг орграфов. Таким методом является метод поиск в глубину. Метод поиска в глубину является основой многих эффективных алгоритмов работы с графами.

Поиск в глубину

Предположим, что есть ориентированный граф , в котором первоначально все вершины помечены меткой " ". Поиск в глубину начинается с выбора начальной вершины орграфа , для этой вершины метка " " меняется на метку " ". Затем для каждой вершины, смежной с вершиной и не посещаемой раньше, рекурсивно применяется поиск в глубину. Когда все вершины, которых можно достичь из вершины , будут рассмотрены, поиск заканчивается. Если некоторые вершины остались не посещенными, то выбирается одна из них и алгоритм повторяется. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут обойдены все вершины орграфа .

Метод получил свое название - поиск в глубину, поскольку поиск не посещенных вершин идет в направлении вглубь до тех пор, пока это возможно.

Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути

Рассмотрим алгоритм нахождения путей в ориентированном графе. Пусть есть ориентированный граф , у которого все дуги имеют неотрицательные метки (веса дуг), а одна вершина определена как источник. Задача состоит в нахождении весов кратчайших путей от источника ко всем другим вершинам граф . Здесь длина пути определяется как сумма весов дуг, составляющих путь. Эта задача часто называется задачей нахождения кратчайшего пути с одним источником.

Можно представить орграф в виде карты маршрутов рейсовых полетов из одного города в другой. Каждая вершина соответствует городу, а ребро (дуга) - рейсовому маршруту из города в город . Вес дуги - это время полета из города в город . В этом случае решение задачи нахождения кратчайшего пути с одним источником для ориентированного графа трактуется как минимальное время перелета между различными городами.

Для решения поставленной задачи будем использовать "жадный" алгоритм, который называют алгоритмом Дейкстры (Dijkstra). Алгоритм строит множество вершин, для которых кратчайшие пути от источника уже известны. На каждом шаге к множеству добавляется та из оставшихся вершин, расстояние до которой от источника меньше, чем для других оставшихся вершин. Если веса всех дуг неотрицательны, то можно быть уверенным, что кратчайший путь от источника к конкретной вершине проходит только через вершины множество . Назовем такой путь особым. На каждом шаге алгоритма используется также массив , в который записываются длины кратчайших особых путей для каждой вершины. Когда множество будет содержать все вершины орграфа, то есть для всех вершин будут найдены особые пути, тогда массив будет содержать длины кратчайших путей от источника к каждой вершине.