- •1) Евкл пр-во. Откр и замкнутые мн-ва в r2.
- •2) Понятие непрер кривой и области в r2
- •3) Предел послед точек в r2.
- •4) Определение ф-и от неск пер. График ф-и 2х пер.
- •5) Предел ф-и неск пер. Осн теоремы о пределах.
- •6) Непрер ф-и неск пер. Точки разрыва.
- •7) Непрер. Сложной ф-и.
- •8) Основные св-ва непрерывных ф-й
- •9) Равномерная непрер-ть функций 2х переменных
- •10) Частные производные ф-й нескольких переменных
- •11) Дифференцируемость функций нескольких переменных. Понятие дифференциала.
- •12) Необходимые условия дифференцируемости функции двух переменных
- •13) Достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных
- •14) Дифференцируемость сложных функций нескольких переменных
- •15) Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
- •16) Частные производные высших порядков.
- •17) Дифференциалы высших порядков.
- •18) Формула Тейлора.
- •19) Неявные функции. Дифференцируемость неявных функций.
- •20) Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума.
- •22) Достаточные условия экстремума для функции 2 переменных.
- •23) Наиб. И наим значение ф-ции 2-х перем. В замкнутой и огр. Обл.
- •26) Определение двойного интеграла. Условия существования двойного интеграла.
- •27) Основные свойства двойного интеграла
- •28)Понятие повторного интеграла для X-правильных областей.
- •29) Понятие повторного интеграла для y-правильных областей.
- •30) Способы вычисления двойного интеграла.
- •31) Замена переменной в двойном интеграле.
- •32) Двойной интеграл в полярных координат
- •36) Определение криволинейного интеграла по координатам (второго рода)
- •37) Свойства криволинейного интеграла второго рода.
- •38) Вычисление криволинейного интеграла второго рода
- •3 9) Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина.
- •40) Условия независимости криволинейного интеграла от путей интегрирования.
- •41) Условия полного дифференциала. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
- •42) Восстановление функции по ее полному дифференциалу
- •44) Криволинейные интегралы по длине дуги(первого рода).
30) Способы вычисления двойного интеграла.
Общая идея вычисления двойного интеграла состоит в сведении двойного интеграла к повторному, однократному, т.е. вычислению двух опред. интегралов.
Введем понятия обл типа 1 (У правильная) и обл типа 2 (Х правильная)
1) Область G на XOY назыв областью типа 1 если любая прямая, парал. оси OY проходящ через внутр точку обл G пересек границу этой обл не более чем в 2х точках.
Ее записывают так (при вычислении X=const)
2) обл G назыв обл типа 2 если любая прямая парал оси OX и проходящ через внутр точку обл G пересек границу этой обл не более чем в 2х точках.
Ее записывают так
Если D-обл типа 1 и f(x,y) непрерыв в D то =
Если обл D - обл типа 2 и f(x,y) непрерыв в D то =
замеч. Если обл D не явл ни обл типа 1 ни обл типа 2 то сначала ее разбив на части так, чтобы каждая ее часть были либо обл типа 1 либо 2,а затем вычисляют
31) Замена переменной в двойном интеграле.
Пусть в некоторой ограниченной замкнутой квадрируемой области скости OXY непрерывная функция f(x,y) тогда существует двойной интеграл (1)
функциональный определитель вида = = называется якобианом
Т. Пусть система функций (2) отображает взаимное однозначно область D` на D, причем функции и в области D` имеют непрерывные частные производные и отличный от нуля якобиан. Тогда, если существует двойной интеграл (1) то справедлива формула = (3)
Формула (3) называется формулой замены переменных под знаком двойного интеграла
32) Двойной интеграл в полярных координат
Часто вычисление двойного интеграла упрощается заменой декартовых координат х и у полярными координатами ρ и ϕ по следующим формулам:
0 ≤ ϕ ≤ 2π.
Для того чтобы получить формулу преобразования двойного интеграла с помощью полярных координат, найдём якобиан функций х и у из :
Следовательно, согласно формуле замены переменных под знаком двойного интеграла , получаем формулу преобразования двойного интеграла с помощью полярных координат:
.
36) Определение криволинейного интеграла по координатам (второго рода)
Пусть в пространстве OXY дана кусочно-гладкая кривая L=AB, на которой определена ф-ия P(x, y). Разобьём кривую L на n частичных дуг с помощью произвольно выбранных на ней точек
A=M0(x0 , y0), M1(x1 , y1),…, Mk(xk , yk) = B,
Располагающихся в направлении от А к В. Выберем на каждой частичной дуге Мk-1Mk произвольную точку Nk(ξk , ηk) и составим суммы σ1= и σ2= , где ∆xk=xk-xk-1 , ∆yk=yk-yk-1. (Суммы σ1 и σ2 называются интегральными суммами, сост для ф-ии P(x, y) вдоль кривой L=AB по координате х и у соответсвенно.) Пусть ∆lk – длина дуги Мk-1Mk (k=1,2,…, n), а λ – наибольшая из ∆lk (k=1,2,…, n). Число J называется пределом интегральной суммы σ1 (σ2 ) при λ→0, если для любого ε<0 найдётся δ<0 такое, что как только λ<0, то выполняется неравенство |J- σ1|<ε (|J- σ2|<ε) независимо ни от способа разбиения кривой L=AB на части, ни от выбора точек Nk(ξk , ηk) на частичных дугах Мk-1Mk (k=1,2,…, n). ИТАК, Если сущ-ет конечный предел J интегральной суммы σ1 (σ2 ) при λ→0, то он называется криволинейным интегралом от ф-ии P(x, y) вдоль кривой L=AB по координате х(у) и обозначается так: ( ). При этом функция P(x, y) называется интегрируемой вдоль кривой L=AB по координате х(у).