1) Евкл пр-во. Откр и замкнутые мн-ва в r2.

Опр. Всякий набор из n действит чисел х₁, x₂,…,x_n будем наз n-мерной точкой. А сами числа х₁, х₂,…,х_n будем наз корд этой т, обозн А(х₁, x₂,…,x_n) или В(х₁, x₂,…,x_n).

Опр. Множ-во всевозмож n-мерных точек наз n-мерным арифм пр-вом или n-мерным координатным пр-вом.

Опр. n-мерное арифм пр-во наз n-мерным евклидовым пр-вом, если ∀2х точек А(х₁, x₂,…,x_n) и В(х₁, x₂,…,x_n) определено расстояние ρ, по формуле ρ(А,В)= (1) Обозн Rⁿ, n∈N.

Опр. Множ-во всех т М(х₁, x₂,…,x_n)∈Rⁿ, удовл нер-ву: ρ(M₀,M)<ℰ или (x₁-x₁⁰)²+(x₂-x₂⁰)²+…+(x_n-x_n⁰)²<ℰ² наз. n-мерным (открытым) шаром, с центром в т М₀ и радиусом ℰ, ℰ>0. Обозн K(M₀, ℰ).

Опр. Множ-во точек М∈Rⁿ, удовл нер-ву ρ(М₀,M)≤ℰ наз n-мерным замкнутым шаром с центром в т М₀ и радиусом ℰ, ℰ>0, обозн (М₀, ℰ).

Опр. Множ-во всех т М(х₁, x₂,…,x_n)∈Rⁿ, удовл рав-ву ρ(М₀,M)=ℰ или (x₁-x₁⁰)⁰+(x₂-x₂⁰)²+…+(x_n-x_n⁰)²=ℰ² , будем наз n-мерной сферой, с центром в т М₀ и радиусом ℰ, ℰ>0. Обозн S(M₀, ℰ).

Опр. n-мерным (открытым) параллепипедом, с центром в т М₀ будем наз множ точек М(х₁, x₂,…,x_n)∈Rⁿ, кот удовл системе нер-в: обозн П(М₀, ℰ). d=min{d₁,d₂,…,d_n}, d_i∈R₊

Опр. Множ т М∈Rⁿ, корд кот удовл сист наз n-мерным замкнутым параллепипедом (d_i∈R₊).

Опр. Окрестностью точки М₀ наз. всякий открытый шар, с центром в этой т.

Опр. Пусть R² –евкл. пл-ть, т.е 2-мерное евкл. пр-во. Пусть Е⊂R² –произв. множ. точек. и пусть т. М₀∈E наз. внутренней точкой этого множ-ва, если ∃К(М₀,ℰ)⊂E. Др словами т М₀ наз внутр т этого мн-ва, если эта т ∈ данному мн-ву с нек окрестностью.

Опр. Т. М₀ наз. предельной т. мн-ва Е, если в любой окр К(М₀,ℰ) данной точки сущ. хотя бы 1 т М∈E. Легко док-ть что опр предельной т эквивалентно след:

Опр. Т. М₀ наз предельной т мн-ва Е, если в любой окр этой т содерж бесчисл множ точек этого мн-ва Е.

Опр. Окрестностью т М₀ на R² наз всякий открытый круг К(М₀,ℰ), с центром в этой т. напр R²-окр для М₀.

Опр. Т. М₀ наз граничной т мн-ва Е, если в любой окр К(М₀,ℰ) этой т имеются т как принадл Е так и не принадл Е.

Замеч. Сама предельная т мн-ва Е может как∈так и не ∈Е.

Опр. Множ Е наз открытым, если все его т явл внутренними, напр всякий откр круг К(М₀,q).

Опр. Множ Е наз замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки

Опр. Множ всех гранич точек мн-ва Е наз его границей.

Утв. Множ Е замкнуто т.и.т.т. когда оно содержит свою границу. Всякий замкнутый круг явл примером замкнутого множ.

2) Понятие непрер кривой и области в r2

Опр. Непрер кривой L в пр-ве R²_xy наз мн-во точек М(х,у), корд-ты которых представляют собой непрерывные функции некоторого переменного: (1), где φ(t) и ψ(t) – непрер ф-и на [α,β].

Опр. Кривая L наз замкнутой, если в прот случае кривая L наз разомкнутой. В т А(φ(α),ψ(α))-начало кривой L, В т В(φ(β),ψ(β))-конец этой кривой. Обозн L=AB.

Опр. Множ E на R² наз связным, если ∀A,B∈E можно соед непрер кривой L=AB, причём L⊂E, напр всякий откр круг К(М₀,ℰ).

Опр. Всякое откр и связное мн-во на R² наз областью или откр областью.

3) Предел послед точек в r2.

Опр. Пусть дана послед точек М₁(х₁, у₁), М₂(х₂, у₂),…,М_n(x_n, y_n) (1) кратко {M_n(x_n, y_n)}. Говорят что точка М₀(х₀, у₀) явл пределом последовательности {M_n(x_n, y_n)}, если ∀ℰ>0 ∃N₁, что ∀n>N₁ вып нер-во: Др словами _n=M₀ или M_nàM₀, при nà∞. Т.о _n=M₀ó _n,M₀)=0.

Т1. Для того чтобы _n=M₀ (*) необх и дост, чтобы (**) Др словами: сх-ть послед-ти точек на евкл пл-ти равносильна покоординатной сх-ти этих точек, т.е (*)ó(**).