1) Определение матрицы. Виды матриц. Транспонирование матриц. Алгебраические операции над матрицами. Свойства алгебраических операций над матрицами. (из тетрадки моей читай!!!тут не так)
Матрицей размерности m x n называется совокупность m·n чисел,
расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.
Виды матриц
1) Матрица называется положительной (неотрицательной), если все ее элементы
положительны (неотрицательны).
2) Матрицу, состоящую из одного столбца называют вектор-столбцом
3)Матрицу, состоящую из одной строки, будем называют вектор-строкой
4) Квадратная матрица называется верхней треугольной, если a iJ =0 , i>j
5) Квадратная матрица называется нижней треугольной, если a iJ =0 i<j
6) Квадр. матрица наз-ся - симметричной если ai j =a ji
7) Квадр. Матрица наз-ся - антисимметричной матрицей, если ai j = -a ji
8) диагональной, если a iJ = 0, i ≠j
9) Диагональная матрица называется скалярной, если а11= а22 = … а2nn цифры по главной диагонали равны и !=1
10) Скалярная матрица называется единичной, если !=1
11) нулевой,все 0
12) Матрица называется верхней трапецевидной, если a iJ =0 , i>j
13) нижней трапецевидной, если a iJ =0 , i<j
Алгебраические операции над матрицами
1) Суммой матриц A = (a iJ ) и B (b iJ ) одной и той же размерности размерности m x n, наз-ся матрица С (с iJ), той же размерности, элементы которой равны с iJ = a iJ + b iJ обозн. С= А+B
2) Произведением матрицы А на число k называется матрица D той же размерности элементы которой равны d iJ = k* a iJ обозн D = k A
3) Произведением A = (a ik ), размерности m x p и B (b kJ)) размерности p x n наз-ся такая матрица С (с iJ ) размерности m x n с iJ = ∑a ik * b kJ = a i1 b1J + a i2 b2J + … + a ip bpJ , обознач. С=АВ Число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй, Правило "строка на столбец
4) Транспонированние матриц. Матрица AT = (aTiJ ) m xn называется транспонированной по отношению к матрице A = (a iJ ) m xn , если aTiJ = a Ji. При транспонир. строки <═> столбцы
Свойства алгебраических операций над матрицами
1) A+B=B+A (коммутативность),
2) (A+B)+C=A+(B+C) (ассоциативность) .
матрицs A, B одинаковых размеров и любые числа S, t
1) (s t) A= s ( t A ); 2) s ( A+B )= s A+ s B;
3) (s +t) A= s A+ t A .
Свойства операции умножения матриц:
1) (A B) C= A ( B C ) (ассоциативность),
2) A ( B+C )=A B+ A C, (A+B) C= A C+ B C\(дистрибутивность),
3) t(A B)= (t A) B=A (t B).
2) Определители второго, третьего порядков и матрицы n-го порядка. Свойства определителей.
Определитель – это число. Обозн. Det A, |A|, D(A)
1) det (a 11) = a 11
2) Определители
второго
3) Определители третьего с помощью метода треугольника.
матрицы n-го ????
Свойства определителей
1) Если в определителе есть нулевая строка (столбец), то он равен 0.
2) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак
3) Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0.
4)
5)
6)
7) Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других строк, то определитель равен нулю.
8) Если к строке определителя прибавить линейную комбинацию других его строк, то определитель не изменится
9) Сумма произведений элементов какой-либо строки на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю.
10) |AT | = |A| 11) |AB|=|A| |B|
11) |AB| = |A| |B|