Теория групп симметрии –2011. Задачи Основы теории групп
Закон композиции элементов группы четвёртого порядка задан таблицей
-
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
b
c
e
b
b
c
e
a
c
c
e
a
b
1. Найти обратные элементы для всех элементов группы.
2. Проверить ассоциативность в 10 разных случаях.
3. Найти порядки всех элементов.
4. Найти подгруппы.
5. Разбить группу на левые смежные классы по каждой подгруппе.
6. Разбить группу на классы сопряжённых элементов.
7. Найти инвариантную подгруппу.
Закон композиции элементов группы четвёртого порядка задан таблицей
-
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
1. Найти обратные элементы для всех элементов группы.
2. Проверить ассоциативность в 10 разных случаях.
3. Найти порядки всех элементов.
4. Найти подгруппы.
5. Разбить группу на левые смежные классы по каждой подгруппе.
6. Разбить группу на классы сопряжённых элементов.
7. Найти инвариантную подгруппу.
Закон композиции элементов группы шестого порядка задан таблицей
-
e
a
b
c
d
f
e
e
a
b
c
d
f
a
a
e
d
f
b
c
b
b
f
e
d
c
a
c
c
d
f
e
a
b
d
d
c
a
b
f
e
f
f
b
c
a
e
d
1. Найти обратные элементы для всех элементов группы.
2. Проверить ассоциативность в 5 разных случаях.
3. Найти порядки всех элементов.
4. Найти подгруппы.
5. Разбить группу на левые смежные классы по каждой подгруппе.
6. Разбить группу на классы сопряжённых элементов.
7. Найти инвариантную подгруппу.
Показать, что следующие шесть матриц образуют группу, построить таблицу умножения и проверить выполнение аксиом группы.
1. Найти обратные элементы для всех элементов группы.
2. Проверить ассоциативность в 3 разных случаях.
3. Найти порядки всех элементов.
4. Найти подгруппы.
5. Разбить группу на левые смежные классы по каждой подгруппе.
6. Разбить группу на классы сопряжённых элементов.
7. Найти инвариантную подгруппу.
Найти унитарные матрицы, приводящие к диагональному виду эрмитовы матрицы
Найти унитарные матрицы, приводящие к диагональному виду эрмитовы матрицы
Унитарным преобразованием эрмитова матрица
приводится к диагональному виду:
.
Показать, что все
диагональные элементы матрицы
положительны:
.
С помощью первой леммы Шура
1. Доказать, что сумма матриц неприводимого представления, соответствующих элементам одного класса, есть матрица, кратная единичной.
2. Доказать, что обратным элементам соответствуют комплексно сопряжённые характеры.
3. Доказать, что сумма по группе матричных элементов любого неприводимого представления, кроме тождественного, равна нулю.
Построить матрицы регулярного представления для группы четвёртого порядка, которая задана таблицей умножения
Найти характеры регулярного представления.
Построить матрицы регулярного представления и найти характеры для группы четвёртого порядка, которая задана таблицей умножения
Построить матрицы регулярного представления и найти характеры для группы шестого порядка, которая задана таблицей умножения
