39.Угол между двумя прямыми и условие Параллельности и перпендикулярность прямых
равен
углу между их направляющими векторами.
Таким образом, если вам удастся найти
координаты направляющих векторов
a = (x1;
y1;
z1)
и b = (x2;
y2;
z2),
то сможете найти угол. Точнее, косинус
угла по формуле:
Условия параллельности двух прямых:а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:k1 = k2.
б)
Для случая, когда прямые заданы уравнениями
в общем виде, необходимое и достаточное
условие их параллельности состоит в
том, что коэффициенты при соответствующих
текущих координатах в их уравнениях
пропорциональны, т. е.
5. Условия
перпендикулярности двух прямых:а) В
случае, когда прямые заданы уравнениями
с угловым коэффициентом, необходимое
и достаточное условие их перпендикулярности
заключается в том, что их угловые
коэффициенты обратны по величине и
противоположны по знаку, т. е
40.Плоскость и прямая в пространстве.Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением , которое называется уравнением плоскости.Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости.Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью?
Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.
Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получилипроекцию наклонной на плоскость.
Угол
между прямой и плоскостью — это
угол между прямой и ее проекцией
на данную плоскость.
Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Параллельность прямой и плоскости.Прямая и плоскость могут пересекаться или быть параллельными друг другу. Еще один случай — прямая лежит в плоскости.Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек.признак параллельности прямой и плоскости:
Прямая
параллельна плоскости, если она
параллельна какой-либо прямой, лежащей
в этой плоскости.
Этот
признак часто используется в решении
задач по стереометрии. Например,
в правильной четырехугольной пирамиде
SABCD прямая АВ параллельна прямой СD —
значит, АВ параллельна всей плоскости
SCD.
41. Пересечение прямой и плоскости.Для рассмотрения пересечения прямой и плоскости целесообразно начать с рассмотрения случая пересечения двух плоскостей (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α | | π1, f0α | | Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π1, (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).
а б в
Рис. 3.8. Прямые, параллельные плоскостям, заданным: а - плоскостью треугольника АВС; б - двумя пересекающимися прямыми а ∩ b; в - горизонтальным h0α и фронтальным f0α следами