- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •События. Классификация событий. Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
- •5.Теорема сложения вероятностей
- •6. Теорема умножения вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •7. Формула полной вероятности
- •8. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •9. Повторение опытов. Формула Бернулли
- •10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
- •11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •14. Плотность распределения
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства
- •Свойства математического ожидания
- •16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •17. Моменты распределения случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •18. Типы распределений дискретных случайных величин
- •Биномиальное распределение
- •18.2 Гипергеометрическое распределение
- •18.3 Геометрическое распределение
- •4. Распределение Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •19. Типы распределений непрерывных случайных величин
- •19.1 Равномерное распределение
- •19.2 Показательное распределение
- •20. Нормальный закон распределения
- •21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •22. Понятие системы случайных величин
- •23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему
- •26. Условные законы распределения
- •Контрольные вопросы
- •27. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Числовые характеристики составляющих системы двух случайных величин. Условное математическое ожидание
- •29. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •30. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Если величины независимы, то они некоррелированы.
- •31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •32. Закон больших чисел
- •33. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Математическая статистика
- •34. Понятие о выборочном методе. Генеральная и выборочная совокупность
- •35. Статистические данные и их представление
- •36. Статистические аналоги теоретических законов распределения
- •36.1 Эмпирическая функция распределения
- •36.2 Полигон и гистограмма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •37. Точечное оценивание параметров распределения
- •38. Свойства статистических оценок
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •39. Интервальное оценивание параметров распределения
- •40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
- •40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •41. Статистические гипотезы
- •42. Критерии проверки гипотез
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •43.Критерий согласия Пирсона «Хи-квадрат» ( )
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •44. Элементы теории корреляции. Задачи корреляционного анализа
- •45. Выбор формы зависимости между переменными. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Глоссарий
40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
Пусть исследуемый признак имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и известной дисперсией . Эффективной точечной оценкой параметра а является выборочная средняя . Поставим задачу найти доверительный интервал, покрывающий параметр а с надежностью .
Рассматривая выборочную среднюю как случайную величину , а выборочные значения признака – как одинаково распределенные независимые случайные величины, заключаем, что
,
.
Примем без доказательства тот факт, что если случайная величина распределена нормально, то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры таковы:
, .
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
,
где – заданная надежность.
Воспользуемся известной формулой для вероятности отклонения случайной величины, распределенной нормально, от своего математического ожидания на величину, по модулю не превосходящую :
,
Заменим Х на , а на , получим
,
где .
Выразив из последнего равенства , можем написать
.
Приняв во внимание тот факт, что выраженная вероятность равна , а также, вернувшись к обозначению средней выборочной , получим соотношение для доверительного интервала, покрывающего математическое ожидание а нормального распределения с надежностью :
.
Смысл полученного соотношения таков: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а; точность оценки равна .
Задача. Фирма коммунального хозяйства желает выборочным методом оценить среднюю квартплату за квартиры определенного типа с надежностью не менее 0,99 и точностью, не меньшей 10 руб. Предполагая, что квартплата имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, не превышающим 30 руб., найти минимальный объем выборки, необходимый для решения поставленной задачи.
Решение. В данной задаче требуется найти такое значение n, при котором , где . Из равенства найдем . Подставив это значение, а также в уравнение , получим . Таким образом, минимальное значение .
40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
В том случае, когда исследуемый признак имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией , невозможно воспользоваться результатами п. 40.1, в котором дисперсия предполагалась известной.
В данном случае поступают следующим образом. По данным выборки строят случайную величину Т:
,
которая имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы; здесь – выборочная средняя; S – исправленное среднее квадратическое отклонение; n – объем выборки.
Плотность распределения Стьюдента
,
где .
Распределение Стьюдента определяется единственным параметром n – объемом выборки и не зависит от неизвестных параметров а и . является четной функцией от t, вероятность осуществления неравенства определяется так:
.
Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством, получим
.
Последнее равенство представляет собой соотношение для доверительного интервала , покрывающий неизвестный параметр а с надежностью . Здесь и s – выборочные значения признака.
Задача. Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в % к предыдущему году):
Выработка в отчетной году (в % к предыдущему году) |
|
|
|
|
|
|
Количество рабочих |
6 |
20 |
45 |
24 |
5 |
100 |
Предположим, что выработка на одного рабочего в отчетном году (в % к предыдущему) подчиняется нормальному закону распределения. Построить доверительный интервал надежности 0,95 для средней выработки на одного рабочего.
Решение. Можно показать, что выборочные характеристики данного распределения таковы: . С учетом того, что , получим соотношение
,
которое будет использоваться нами для решения поставленной задачи. Пользуясь таблицей значений по = 0,95 и n = 100, находим . Найдем границы доверительного интервала:
,
.
Таким образом, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале .