- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •События. Классификация событий. Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
- •5.Теорема сложения вероятностей
- •6. Теорема умножения вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •7. Формула полной вероятности
- •8. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •9. Повторение опытов. Формула Бернулли
- •10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
- •11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •14. Плотность распределения
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства
- •Свойства математического ожидания
- •16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •17. Моменты распределения случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •18. Типы распределений дискретных случайных величин
- •Биномиальное распределение
- •18.2 Гипергеометрическое распределение
- •18.3 Геометрическое распределение
- •4. Распределение Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •19. Типы распределений непрерывных случайных величин
- •19.1 Равномерное распределение
- •19.2 Показательное распределение
- •20. Нормальный закон распределения
- •21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •22. Понятие системы случайных величин
- •23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему
- •26. Условные законы распределения
- •Контрольные вопросы
- •27. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Числовые характеристики составляющих системы двух случайных величин. Условное математическое ожидание
- •29. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •30. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Если величины независимы, то они некоррелированы.
- •31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •32. Закон больших чисел
- •33. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Математическая статистика
- •34. Понятие о выборочном методе. Генеральная и выборочная совокупность
- •35. Статистические данные и их представление
- •36. Статистические аналоги теоретических законов распределения
- •36.1 Эмпирическая функция распределения
- •36.2 Полигон и гистограмма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •37. Точечное оценивание параметров распределения
- •38. Свойства статистических оценок
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •39. Интервальное оценивание параметров распределения
- •40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
- •40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •41. Статистические гипотезы
- •42. Критерии проверки гипотез
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •43.Критерий согласия Пирсона «Хи-квадрат» ( )
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •44. Элементы теории корреляции. Задачи корреляционного анализа
- •45. Выбор формы зависимости между переменными. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Глоссарий
Статистическое определение вероятности
Как было сказано выше, классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии. Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи в этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Предварительно введем понятие относительной частоты.
Относительной частотой события, или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда
,
где n – общее число опытов; m – число опытов, в которых появилось событие А.
При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно меняться от одной группы опытов к другой. Например, при каких-то десяти бросаниях монеты вполне возможно, что герб появится 2 раза (частота 0,2), при других десяти бросаниях мы вполне можем получить 8 гербов (частота 0,8). Однако при увеличении числа опытов частота события все более теряет свой случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
Статистическое определение вероятности: вероятностью события называют число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.
Свойство устойчивости частот, многократно проверенное экспериментально и подтверждающееся опытом человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Между частотой события и его вероятностью существует глубокая связь, которую можно выразить так: когда мы оцениваем степень возможности какого-либо события, мы связываем эту оценку с большей или меньшей частотой появления аналогичных событий на практике.
Геометрическая вероятность
К лассическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Для того чтобы преодолеть этот недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.
Допустим, что на плоскости задана квадрируемая область G, т.е. область, имеющая площадь SG. В области G содержится область g площади Sg. В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части и независящей от ее формы и расположения. Пусть событие А – «попадание брошенной точки в область g», тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой:
.
В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mes g, а меру области G – через mes G; пусть также А – событие «попадание брошенной точки в область g, которая содержится в области G». Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой
.
Задача. В круг вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадёт в квадрат?
Решение. Пусть радиус круга равен R, тогда площадь круга равна . Диагональ квадрата равна , тогда сторона квадрата равна , а площадь квадрата равна . Вероятность искомого события определяется как отношение площади квадрата к площади круга, т.е. .