- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •События. Классификация событий. Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
- •5.Теорема сложения вероятностей
- •6. Теорема умножения вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •7. Формула полной вероятности
- •8. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •9. Повторение опытов. Формула Бернулли
- •10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
- •11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •14. Плотность распределения
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства
- •Свойства математического ожидания
- •16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •17. Моменты распределения случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •18. Типы распределений дискретных случайных величин
- •Биномиальное распределение
- •18.2 Гипергеометрическое распределение
- •18.3 Геометрическое распределение
- •4. Распределение Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •19. Типы распределений непрерывных случайных величин
- •19.1 Равномерное распределение
- •19.2 Показательное распределение
- •20. Нормальный закон распределения
- •21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •22. Понятие системы случайных величин
- •23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему
- •26. Условные законы распределения
- •Контрольные вопросы
- •27. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Числовые характеристики составляющих системы двух случайных величин. Условное математическое ожидание
- •29. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •30. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Если величины независимы, то они некоррелированы.
- •31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •32. Закон больших чисел
- •33. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Математическая статистика
- •34. Понятие о выборочном методе. Генеральная и выборочная совокупность
- •35. Статистические данные и их представление
- •36. Статистические аналоги теоретических законов распределения
- •36.1 Эмпирическая функция распределения
- •36.2 Полигон и гистограмма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •37. Точечное оценивание параметров распределения
- •38. Свойства статистических оценок
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •39. Интервальное оценивание параметров распределения
- •40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
- •40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •41. Статистические гипотезы
- •42. Критерии проверки гипотез
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •43.Критерий согласия Пирсона «Хи-квадрат» ( )
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •44. Элементы теории корреляции. Задачи корреляционного анализа
- •45. Выбор формы зависимости между переменными. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Глоссарий
31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
Рассмотрим систему двух зависимых случайных величин Х и Y. Положим, что , где , где а и b – параметры, подлежащие определению.
Назовем функцию наилучшим приближением к Y в смысле метода наименьших квадратов, если принимает наименьшее возможное значение, при этом - среднеквадратическая регрессия Y на Х.
Справедливо следующее утверждение.
Линейная регрессия Y на Х имеет вид , где mx, my – математические ожидания, σx, σy - средние квадратические отклонения составляющих Х и Y соответственно, rxy – коэффициент корреляции.
Прямая называется прямой среднеквадратической регрессии Y на Х. Угловой коэффициент а функции , равный , называется коэффициентом регрессии Y на Х.
Решив задачу оптимизации величины , можно заключить, что наименьшее ее значение, равное называется остаточной дисперсией случайной величины Y относительно случайной величины Х. Остаточная дисперсия характеризует величину ошибки, которую допускают при замене Y линейной функцией . При остаточная дисперсия равна нулю, т.е. при крайних значениях коэффициента корреляции не возникает ошибки при представлении Y в виде линейной функции от Х, т.е. другими словами при Y является линейной функцией от Х. При этом, если r = 1, то между Y и Х возрастающая зависимость, а при r = -1 эта зависимость является убывающей.
При r = 0 , т.е. Y от Х не зависит.
Аналогично, прямая среднеквадратической регрессии Х на У имеет вид и остаточную дисперсию величины Х относительно величины Y.
Проанализировав уравнения линий среднеквадратической регрессии Y на Х и Х на Y, отметим, что обе прямые проходят через одну и ту же точку (mx, my), которая называется центром совместного распределения Х и Y.
При прямые регрессии совпадают. В самом деле, при r = 1 имеем два равносильных уравнения:
;
.
При r = -1 имеем также два равносильных уравнения:
;
.
Контрольные вопросы
Сформулируйте условие независимости составляющих для: а) непрерывной с.в. (Х; Y); б) дискретной с.в. (Х; Y).
Как выглядят формулы для безусловных характеристик составляющих а) непрерывной с.в. (Х; Y); б) дискретной с.в. (Х; Y): математического ожидания и дисперсии составляющих)?
Как выглядят формулы для условных характеристик составляющих а) непрерывной с.в. (Х; Y); б) дискретной с.в. (Х; Y): математического ожидания и дисперсии составляющих)?
Для каких целей используются корреляционный момент и коэффициент корреляции?
Сформулируйте свойства: а) корреляционного момента; б) коэффициента корреляции.
Какие случайные величины называются: а) коррелированными? б) некоррелированными?
Будут ли случайные величины некоррелированными, если они независимы?
Будут ли случайные величины коррелированными, если они зависимы?
Будут ли случайные величины независимы, если они некоррелированы?
Будут ли случайные величины зависимы, если они коррелированы?
Приведите пример случайных величин, для которых равносильны понятия независимости и некоррелированности.
Что называется прямой среднеквадратической регрессии Y на Х?
Что называется коэффициентом регрессии Y на Х?
Что называется остаточной дисперсией случайной величины Y относительно случайной величины Х?
Что можно сказать о характере зависимости между с.в. Х и Y при: а) r = 0; б) r = 1; в) r = -1?
Что называется центром совместного распределения Х и Y?