- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •События. Классификация событий. Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •4. Операции над событиями. Соотношения между событиями
- •5.Теорема сложения вероятностей
- •6. Теорема умножения вероятностей
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •7. Формула полной вероятности
- •8. Теорема гипотез (формула Бейеса)
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •9. Повторение опытов. Формула Бернулли
- •10. Локальная формула Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
- •11. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения частоты события от его вероятности в n независимых испытаниях
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •12. Понятие случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник распределения
- •13. Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •14. Плотность распределения
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •15. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства
- •Свойства математического ожидания
- •16. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
- •17. Моменты распределения случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •18. Типы распределений дискретных случайных величин
- •Биномиальное распределение
- •18.2 Гипергеометрическое распределение
- •18.3 Геометрическое распределение
- •4. Распределение Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •19. Типы распределений непрерывных случайных величин
- •19.1 Равномерное распределение
- •19.2 Показательное распределение
- •20. Нормальный закон распределения
- •21. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •22. Понятие системы случайных величин
- •23. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Контрольные вопросы
- •24. Функция распределения двух случайных величин. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •25. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему
- •26. Условные законы распределения
- •Контрольные вопросы
- •27. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Числовые характеристики составляющих системы двух случайных величин. Условное математическое ожидание
- •29. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •30. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •Если величины независимы, то они некоррелированы.
- •31. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •32. Закон больших чисел
- •33. Центральная предельная теорема
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Математическая статистика
- •34. Понятие о выборочном методе. Генеральная и выборочная совокупность
- •35. Статистические данные и их представление
- •36. Статистические аналоги теоретических законов распределения
- •36.1 Эмпирическая функция распределения
- •36.2 Полигон и гистограмма
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •37. Точечное оценивание параметров распределения
- •38. Свойства статистических оценок
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •39. Интервальное оценивание параметров распределения
- •40. Интервальное оценивание параметров нормального распределения
- •40.1 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
- •40.2 Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •41. Статистические гипотезы
- •42. Критерии проверки гипотез
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •43.Критерий согласия Пирсона «Хи-квадрат» ( )
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •44. Элементы теории корреляции. Задачи корреляционного анализа
- •45. Выбор формы зависимости между переменными. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •46. Коэффициент корреляции и проверка его значимости. Линейная регрессия и прогноз
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные задания
- •Литература
- •Глоссарий
Контрольные вопросы
Какое распределение вероятностей называется биномиальным распределением?
Какой смысл имеет с.в., распределенная по биномиальному закону с параметрами n и р?
Какое распределение вероятностей называется гипергеометрическим распределением?
Какими параметрами характеризуется гипергеометрическое распределение?
Какой смысл имеет с.в., распределенная по гипергеометрическому закону?
Какое распределение вероятностей называется геометрическим распределением? Чем объясняется такое название распределения?
Какой смысл имеет с.в., распределенная по геометрическому закону с параметром р?
Какое распределение вероятностей называется распределением Пуассона?
Почему закон распределения Пуассона также называют законом «редких событий»?
Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения?
Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии геометрического распределения?
Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона?
Контрольные задания
Доказать, что последовательность вероятностей, задаваемая формулой , где , k = 1, 2, …, n, … может задавать ряд распределения, т.е. .
Доказать, что математическое ожидание случайной величины, распределенной по геометрическому закону удовлетворяет формуле .
Доказать, что дисперсия случайной величины, распределенной по геометрическому закону удовлетворяет формуле .
Доказать, что последовательность вероятностей, задаваемая формулой Пуассона, может представлять собой ряд распределения, т.е. сумма вероятностей равна единице.
Доказать, что математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона удовлетворяет формуле М(Х)= = .
Доказать, что дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона удовлетворяет формуле D(Х)= .
Доказать, что сумма двух независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона с параметрами а и b является также случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром а + b.
19. Типы распределений непрерывных случайных величин
19.1 Равномерное распределение
В некоторых задачах практики встречаются непрерывные величины, о которых заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах определенного интервала [а; b]; кроме того, известно, что в пределах этого интервала [а; b] все значения случайной величины одинаково вероятны, т.е. обладают одной и той же вероятностью. В этом случае говорят, что случайная величина подчинена равномерному закону распределения, плотность вероятности такой случайной величины выражается формулой:
Для определения плотности f(x) воспользуемся свойством плотности :
; откуда .
Плотность распределения f(x) имеет вид:
Данная формула и выражает закон равномерной плотности на интервале [а; b].
Функцию распределения F(x) найдем через интеграл от плотности распределения, несложно показать, что F(x) удовлетворяет выражению
Определим основные числовые характеристики случайной величины Х, подчиненной закону равномерной плотности на интервале [а; b]:
;
; .
Найдем вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по закону равномерной плотности, на участок (α, β), представляющий собой часть участка [а; b]:
.
Равномерное распределение имеют, например, ошибки округления при проведении числовых расчетов. Такая ошибка, как правило, оказывается равномерно распределенной на интервале от – 5 до +5 единиц округляемого десятичного знака. Так, если вычисления проводятся с точностью до 0,001, то ошибка округления при этом равномерно распределена на отрезке [–0,005, 0,005].
Также равномерное распределение имеет время ожидания «обслуживания» при периодическом, через каждые Т единиц времени, включении (прибытии) «обслуживающего устройства» и при случайном поступлении (прибытии) заявки на обслуживание в этом интервале времени. Например, время ожидания пассажиром прибытия поезда метро при их точных пятиминутных интервалах движения и случайном моменте появления пассажира на платформе будет распределено равномерно на промежутке [0 мин, 5 мин].