- •Глава 7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. §7.1. Пространство .
- •§7.2.Предел функции нескольких переменных.
- •Теорема. Для того чтобы последовательность метрического пространства сходилась к , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства или .
- •Пример 2. Функция является разрывной в точке , поскольку она не имеет предела в этой точке . Пример 3. Исследуем функцию на непрерывность в точке .
- •5º. (Теорема Кантора).
- •§7.3. Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •Теорема 3 (Достаточное условие дифференцируемости фнп в точке). Если все частные производные определены в окрестности точки и непрерывны в , то функция – дифференцируемая в точке .
- •Теорема (Эйлера об однородных функциях ). Если однородная степени функция является дифференцируемой на , то
- •§7.5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Теорема (о смешанных производных). Если смешанные производные функции определены в некотоой окрестности точкаа и непрерывны в этой точке, то .
- •§7.6.Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
- •§7.7. Экстремум функций нескольких переменных.
- •Теорема 1 (неабходимое условие экстремума). Если функция является дифференцируемой в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то
- •Лемма (о знакоопределённой квадратичной форме). Если квадратичная форма является положительно определённой, то существует такое действительное число , что , где .
- •Пример. Исследуем на экстремум функцию .
§7.6.Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
Пусть ,
, .
Теорема. Пусть функция имеет в шаре непрерывные частные производные всех порядков до –го включительно. Тогда для каждой точки существует действительное число такое, что справедливо равенство
(1)
которое называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Здесь
□ Если , то по причине симметрии шара точка , а поэтому отрезок Рассмотрим функцию
которая определена на и имеет производные до порядка включительно. Действительно, пользуясь правилом вычисления производной сложной функции, имеем
По индукции получаем, что имеют место формулы
(2)
Используя для функции формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа в окрестности точки , получаем
Взяв здесь , получаем
Если подставить в это равенство выражение производных из (2) при , получим формулу (1). ■
Замечание. Если выполняются условия теоремы, то формула Тейлора может быть записана с остаточным членом ву форме Пеано
. (3)
§7.7. Экстремум функций нескольких переменных.
Пусть функция определена в области .
Будем говорить, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такой шар , что выполняются неравенства . Точки локального минимума и локального максимума называют точками локального экстрэмума.
Теорема 1 (неабходимое условие экстремума). Если функция является дифференцируемой в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то
□ Рассмотрим функцию
определённую в некоторой окрестности точки . Поскольку имеет в точке локальный экстремум, то , т.е. тоже имеет локальный экстремум при . На основании теоремы Ферма . Но , а поэтому .
Поскольку это равенство имеет место для произвольных , то отсюда следует, что
. ■
Если функция является дифференцируемой в точке и , то точку называют стационарной. Согласно теореме 1 точка экстремума дифференцируемой функции является стационарной. Обратное утверждение неверно. Стационарная точка может и не быть точкой экстрэмума. Например, для функции точка является стационарной, но не является точкой экстремума (почему?).
Дальше нам потребуются некоторые сведения о квадратичных формах.
Если , то функцию называют квадратичной формой переменных . Здесь .
Квадратичную форму называют положительно определённой, если ; отрицательно определённой, если ; неопределённой, если .
В курсе алгебры рассматривается Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы: квадратичная форма является положительно определённой, если и тольки если все главные миноры её матрицы положительные, т.е.
Отметим, что квадратичная форма будет отрицательно определённой только в том случае, если квадратчная форма – положительно определённая. Поэтому для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы .