Глава 7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. §7.1. Пространство .

def. Непустое множество Х будем называть метрическим пространством, если каждой паре его элементов ставится в соответствие неотрицательное число , которое называют расстоянием между элементами х и у, такое что выполняются условия: 1)  2)  ; 3)  (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть его точками, а функцию будем называть его метрикой или нормой.

Например, множество является метрическим пространством, в котором метрика определяется формулой .

Рассмотрим множество упорядоченных пар действительных чисел и обозначим . Если , то получим метрическое пространство – евклидову плоскость.

На одном и том же множестве можно разными способами определить расстояние между его элементами и получить, тем самым, разные метрические пространства. Так на множестве упорядоченных пар действительных чисел расстояние можно определить следующим образом: , или и при этом получить новые метрические пространства.

Обозначим через множество упорядоченных совокупностей , . Пусть

. (1)

В курсе алгебры доказывается, что введенная таким способом метрика соответствует трём условиям расстояния в метрическом пространстве. Таким образом, множество с метрикой (1) есть метрическое пространство.

def. Шаром радиуса с центром в точке называется множество

В частности, шар будем называть -акрестностью точки .

def. Точка называется внутренней точкой множества , если , т.е. точка содержится во множестве вместе с некоторым шаром. Если все точки множества являются внутренними, то множество называется открытым множеством. Пустое множество считается открытым по определению.

def. Точка называется предельной точкой множества , если в каждой окрестности точки содержится точка множества отличная от точки , т.е.

.

Предельная точка множества может принадлежать множеству , а может ему и не принадлежать. Так, каждая точка интервала является предельной точкой этого интервала. Концы интервала и – также его предельные точки, но они не принадлежат этому интервалу. Все точки отрезка предельнве и принадлежат этому отрезку.

def. Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым. Например, отрезок – замкнутое множество.

def. Точка множества , не являющаяся его предельной точкой, называется изолированной точкой множества , т.е.

Каждая точка множества является или его предельной точкой, или его изолированной точкой.

def. Точка называется граничной точкой множества , если в каждой окрестности точки имеются точки как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множества называют границей множества и абозначают .

Граничная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать этому множеству. Так точки и являются граничными точками интервала и отрезка . Каждая граничная точка множества является яго предельной точкой.

def. Множество называется ограниченным, если . Ограниченное замкнутое множество назывется компактом.

def. Множество , где – непрерывные на функции, называют кривой в пространстве . Если – линейные функции, то кривая называется прямой.

def. Если и являются точками из пространства , то множество называется прямой, проходящей через точки и .

def. Отрезком, соединяющим точки и из пространства , называется множество .

def. Лучом с вершиной в направлении называется множество .

Множество называется связным, если каждые две его точки можно соединить кривой , которая полностью содержится в , .

Открытое и связное множество называется областью.