- •Глава 10. Интегралы, зависящие от параметра. §10.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра (изоп).
- •Теорема 1 (о непрерывности изоп). Если функция непрерывна на прямоугольнике , то изоп есть непрерывная функция на .
- •Теорема 2 (об интегрируемости изоп). Если функция непрерывна на , то изоп есть интегрируемая на функция, причём
- •Теорема 3 (о дифференцируемости изоп). Если функция и её частная производная непрерывны на , то изоп есть непрерывно дифференцируемая на функция, причём , (5)
- •Пример 1. Вычислить интеграл .
- •§10.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (низоп).
- •Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость интеграл на отрезках: 1) ; 2) .
- •Теорема 1 (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости низоп). Если функция интегрируема по на отрезке и если
- •Теорема 2 (о непрерывности низоп). Если функция непрерывная на , а низоп (1) равномерно сходится на , то функция из (1) непрерывная на .
- •Теорема 3 (об интегрируемости низоп). Если функция непрерывная на , а низоп (1) равномерно сходится на , то низоп есть интегрируемая на функция, причём
- •§10.3. Гамма – и Бэта – функции Эйлера.
- •§10.4. Интеграл Дирихле.
Глава 10. Интегралы, зависящие от параметра. §10.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра (изоп).
Пусть на прямоугольнике определена функция . Если функция интегрируема по на , то интеграл есть функция от параметра , определённая на . При этом
(1)
называют интегралом, зависящим от параметра y (ИЗОП).
Если функция определена на множестве более общего вида
и на существует интеграл , (2)
то этот интеграл называют ИЗОП с переменными границами.
Напомним, что функция переменных называется равномерно непрерыв-ной на , если .
Теорема 1 (о непрерывности изоп). Если функция непрерывна на прямоугольнике , то изоп есть непрерывная функция на .
□ Поскольку функция есть непрерывная на замкнутом ограниченном мно-жестве , то по теореме Кантора она является равномерно непрерывной на , т.е. .
Если взять , то получим
. (3)
Тогда
Это значит, что функция – непрерывна в каждой точке .■
Замечание. Можно показать, что если есть непрерывная на и – непрерывные на , то – непрерывная функция на .
Теорема 2 (об интегрируемости изоп). Если функция непрерывна на , то изоп есть интегрируемая на функция, причём
. (4)
□ Поскольку как непрерывная функция (Теорема 1) является интегрируемой, то . Последний интеграл и интеграл из правой части равенства (4) можно рассматривать как повторные для двойного интеграла , который существует для непрерывной на функции. Поэтому интегралы из (4) совпадают. ■
Теорема 3 (о дифференцируемости изоп). Если функция и её частная производная непрерывны на , то изоп есть непрерывно дифференцируемая на функция, причём , (5)
т.е. (ИЗОП можно дифференцировать под знаком интеграла).
□ Введём вспомогательную функцию . (6)
Поскольку непрерывная на , то согласно теореме 1 функция – непрерывная на и интеграл от неё можно вычислить по формуле (4) интегрирования ИЗОП под знаком интеграла:
,
т.е. , откуда по теореме Барроу . Заменяя в (6) на , получим (5). ■
Формулу (5) называют правилом Лейбница дифференцирования ИЗОП.
Замечание. Если функции и непрерывные на и – непрерывно дифференцируемые на , то есть непрерывно дифференцируемая функция на , причём
(7)
– правило Лейбница дифференцирования ИЗОП с переменными границами.
Действительно, пусть . Тогда
. (8)
Функция имеет непрерывные частные производные по всем переменным:
– согласно теореме Барроу; –согласно теореме 3. Тогда из (8) на основании теоремы о производной сложной функции
что и означает справедливость формулы (7).
Пример 1. Вычислить интеграл .
► Будем рассматривать этот интеграл как ИЗОП с параметром и обозначим его через = . Тогда
Таким образом, из равенства имеем
Поскольку из условия следует, что , то .◄
§10.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (низоп).
Пусть на полосе определена функция . Если несобственный интеграл сходится, то говорят, что он сходится на отрезке . При этом на отрезке определена функция
, (1)
которую называют несобственным интегралом, зависящим от параметра (НИЗОП).
Сходимость НИЗОП к функции означает существование предела
, т.е. .
Таким образом, НИЗОП (1) сходится на отрезке , если и только если
.
def. Говорят, что НИЗОП (1) сходится равномерно по параметру у на отрезке , если .
Если НИЗОП (1) сходится на отрезке , но не является равномерно сходящимся по параметру на , то говорят, что НИЗОП (1) сходится неравномерно по параметру на отрезке т.е.
.