Вопрос 17
Метод изоклин — приближенный графический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1–го порядка.
Метод позволяет "вручную" (без использования компьютера) построить изображение поля направлений и по этому изображению построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку.
Рассмотрим линии, в каждой точке которых угловой коэффициент интегральных кривых имеет одно и то же постоянное значение: f(x, y) = k, k = const.
Такие кривые называются изоклинами дифференциального уравнения y' = f(x, y). Равенство f(x, y) = k — уравнение изоклины.
В каждой точке (x, y) изоклины f(x, y) =k интегральные кривые уравнения имеют один и тот же угол наклона αrctg(α) = k.
Метод изоклин состоит в следующем.
Строим достаточно густую сетку изоклин для различнх значений k и на каждой изоклине изображаем небольшие отрезки с наклоном k.
Затем, начиная из точки (x0, y0), поводим линию, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x0, y0).
На рисунке изображены изоклины для k = 1,2, … ,15,16 и интегральная кривая, проходящая через точку (0,0) .
Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.
Ломаная Эйлера (красная линия) — приближённое решение в пяти узлах задачи Коши и точное решение этой задачи (выделено синим цветом)
Описание метода
Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка
где
функция
определена
на некоторой области 
.
Решение разыскивается на интервале 
.
На этом интервале введем узлы
Приближенное
решение в узлах 
,
которое обозначим через 
определяется
по формуле
Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Оценка погрешности
Метод
Эйлера является методом первого порядка.
Если функция
непрерывна
в 
и
непрерывно дифференцируема по
переменной 
в
,
то имеет место следующая оценка
погрешности
где 
—
средний шаг, то есть существует 
такая,
что 
.
Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.
Вопрос 20
Ряд называется знакочередующимся,
если его члены попеременно принимают
значения противоположных знаков, т. е.:
Теорема Лейбница. Если абсолютная величина общего члена знакочередующегося ряда убывает и стремится к нулю, то этот ряд сходится.Действительно, допустим, что ряд (36) таков, что a1 > a2 > a3 > a4 > ..., (37)
(38)
Образуем частичные суммы S2n:
S2 = (a1 - a2),
S4 = (a1 - a2) + (a3 - a4),
S6 = (a1 - a2) + (a3 - a4) + (a5 - a6),
. . . . . . . . . . . . . .
Благодаря (37), все скобки положительны. Значит,
S2 < S4 < S6 < ...
Иначе говоря, последовательность {S2n} возрастает. С другой стороны,
S2n = a1 - (a2 - a3) - (a4 - a5) - ... - (a2n-2 - a2n-1) - a2n,
откуда ясно, что
S2n < a1.
Как известно, при этих условиях существует конечный предел
НоS2n+1 = S2n + a2n+1,
откуда в связи с (38) вытекает, что сумма S2n+1 с возрастанием n также стремится к S. Итак, при достаточно больших n сумма Sn будет сколь угодно близка к Sнезависимо от четности n. Иначе говоря,
чем и доказана теорема.Заметим, что теорема перестает быть верной, если отбросить условие убывания an. Например, знакочередующийся ряд
как легко видеть, расходится**.Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Теорема 3.3. Если ряд абсолютно сходится, то любой ряд, составленный из членов данного ряда, взятых, возможно, в другом порядке, тоже абсолютно сходится и имеет ту же сумму.Доказательство. Рассмотрим ряд , составленный из членов ряда . Так как ряд сходится, можно найти номер N такой, что |sN — s| < . Выберем теперь номер М такой, что частичная сумма содержала все слагаемые, входящие в сумму sN .Тогда для любого m > M частичную сумму можно представить в виде:
Тогда в будут входить только слагаемые с номерами, большими N, поэтомуТогда при т > M получаем: Следовательно, , то есть ряд сходится, и сумма его равна s.Проводя подобные рассуждения для ряда , можно доказать и абсолютную сходимость ряда .
Теорема 3.4 (без доказательства). Если ряды и абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений umvn членов этих рядов, тоже абсолютно сходится, и его сумма равна произведению сумм исходных рядов.Замечание. Указанные свойства справедливы только для абсолютно сходящихся рядов. Если ряд сходится условно, то перестановкой его членов можно изменять сумму ряда (теорема Римана) или получить расходящийся ряд. В частности, расходящимися в этом случае будут ряды, составленные из всех положительных и из всех отрицательных членов данного условно сходящегося ряда.