Вопрос 21

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция  .

Область сходимости, множество значений переменного х, для которых функциональный ряд    сходится.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд   сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд   сходится равномерно.

2. 

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда  . Таким образом функциональный ряд ограничиваеся обычным. От него требуется обычная сходимость

Признак Дирихле

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций   монотонна   и 

2. Частичные суммы   ряда   равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций   равномерно ограничена и монотонна  .

2. Ряд   равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве 

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Последовательность 

 функция   непрерывна в точке 

Тогда   непрерывна в  .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Ряд 

 функция   непрерывна в точке 

Тогда   непрерывна в  .

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

 функция   непрерывна на отрезке 

 на 

Тогда 

Теорема о почленном интегрировании.

 функция   непрерывна на отрезке 

 на 

Тогда 

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

 функция   непрерывно дифференцируема на отрезке 

 сходится

 на отрезке 

Тогда   — непрерывно дифференцируема на  ,   на 

Теорема о почленном дифференцировании.

 функция   непрерывно дифференцируема на отрезке 

 сходится

 равномерно сходится на отрезке 

Тогда   — непрерывно дифференцируема на  ,   на 

Вопрос 22

. Степенные ряды, Теорема Абеля, Радиус сходимости, свойства степ. рядов

Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x₀ − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию  . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде  , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера: