Вопрос 7

Методы приближенного решения уравнений:

  Метод Ньютона (метод касательных) 

 Если x₀ - начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле

 

Если f' и f'' непрерывны и сохраняют определенные знаки на отрезке [a, b], а f(a)f(b) < 0 , то, исходя из начального приближения x₀ [a, b] удовлетворяющего условию 

f(x₀) f ’’(x₀)>0, можно вычислить с любой точностью единственный корень уравнения f(x) = 0.

 Метод половинного деления  Если x₀ и x₁ таковы, что f(x₀) f (x₁)<0, то полагаем x₂=(x₀₊ x₁)/2 и вычисляем f  (x₂) Если  x₀, то корень найден. В противном случае изотрезков f  (x₂)=0 и [x₀, x₂ ]выбираем тот, на концах которого f принимает значения разных знаков, и проделываем аналогичную операция. Процесс продолжаем до получения требуемой точности.

 Метод секущих (метод хорд)  Если x₀,  x₁ - приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 , а f(x₀) f (x₁)<0,  то последующие приближения находят по формуле  Методом хорд называют также метод, при котором один из концов отрезка [a, b]  закреплен, т. е. вычисление приближения корня уравнения 

f(x) = 0 производят по формулам:

либо При этом предполагается, что корень уравнения находится на отрезке [a, b]  , а f''(x) сохраняет знак на [a, b].

Вопрос 8

План исследования функции

1. Область определения функции. (ОДЗ, вертекальные асимптоты)Точки пересечения графика функции с осями координат.

2. Четность[f(x)=f(-x)], нечетность [f(x)=-f(x)], функции.

3. Переодичность (Сущ-ет T>0- наименшее, f(x+T)=f(x) )

4. Возрастание [если f ’(x)>0 => f (x)↗ (x₁<x₂, f(x₁)<f(x₂))], убывание [если f ’(x)<0 => f (x)↘ (x₁<x₂, f(x₁)>f(x₂))].

5. Интервалы монотонности. Экстремумы. (смена знаков производной, при этом в самой точке f(x₀) – может не существовать) (Точки подозрительные на экстремум находят среди таких что f ’(x)=0, f ‘(x)=∞, или не сущ-ет)

6. Интервалы выпуклости (f ’’(x)<0), вогнутости(f ’’(x)>0). Точки перегиба.

5. Наклонные асимптоты

(y=kx+b, k=lim_x→∞ f(x)/x, b=lim(f(x)-kx)).

8. Дополнительные точки, (по мере необходимости).

Вопрос 9

Неопределённый интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция f(x)  определена и непрерывна на промежутке (a, b) и F(x) — её первообразная, то есть 

F ’(x)=f(x) при a<x<b, то  ,

где С — произвольная постоянная

Свойства:

1. (∫ f(x) dx)’=f(x)

(∫ f(x) dx)’=(F(x)+C)’=(F(x))’+C’=f(x)

2. d(∫ f(x) dx)=f(x) dx

d(∫ f(x) dx)=d(F(x)+C)= d(F(x))+dC=F’(x)dx=f(x) dx

3. ∫dF(x)= F(x)+C

4. ∫ f(x+b)dx=F(x+b)+C, b – const

5. ∫ f(kx)dx=1/k* F(kx)+C, k – const (не зависит от x)

6. ∫ f(kx+b)dx=1/k* F(kx+b)+C

Таблица неопределенных интегралов

Методы вычисления

 Метод интегрирования по частям.

Этот метод основан на формуле  .

Вычислить  .

Решение.  =

= .

  Метод подстановки.

Пусть требуется найти  , причем непосредственно подобрать первообразную для   мы не можем, но нам известно, что она существует. Часто удается найти первообразную, введя новую переменную, по формуле

, где  , а t- новая переменная.

Вычислить  .

Решение. Обозначим  . Тогда  ,  . Имеем

 Метод введения нового аргумента. 

Если то

где   — непрерывно дифференцируемая функция.

 Метод разложения. 

Если то

Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить   

Предположим, что существуют дифференцируемые функции   и  , такие, что  тогда Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Например.

Классы интегральных ф-й(????????????????)