- •Вопрос 1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •3.Инвариантность формы первого дифференциала
- •Вопрос 4
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Вопрос 7
- •Вопрос 8
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10
- •Оценка точности вычисления определённого интеграла
- •Вопрос 11
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16
- •Вопрос 17
- •Описание метода
- •Оценка погрешности
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Сходимость степенных рядов
- •Признаки сходимости
- •Вопрос 23 Ряды Тейлора и Маклорена разложение основных элементарных функций
- •Вопрос 25
- •Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Мы установили, что дифференциал функции является частью ее приращения и отличается от нее на величину . Эта величина при является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем при ), так как .Поэтому при достаточно малых имеет место приближенное равенство или , откуда .(1)При этом чем меньше , тем точнее значение функции.Равенство (1) представляет собой "рабочую формулу" применения дифференциала к приближенным вычислениям.
Пример. Вычислите приближенно с двумя десятичными знаками .
Решение.Введем функцию и в качестве x возьмем число, наиболее близкое к , но такое, чтобы легко вычислялся и было бы достаточно малым. В нашем случае удобно взять , тогда Найдем .
Вычислим , .
Тогда по формуле (1) .
Ответ: .
3.Инвариантность формы первого дифференциала
Если x - независимая переменная, то dx = x - x0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем
df(x0) = f'(x0)dx. (3)
Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t0)dt. Следовательно,
Вопрос 4
Производные высших порядков
явно заданной функции
Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка. Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у" Итак, у"=(у')'. Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")' Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка: y(n)=(y(n-1))¢ .Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уν или у(5)— производная пятого порядка).
Пример:Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.
Решение:
неявно заданной функции
Пусть функция у=ƒ(х) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0.
Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производую от неявной функции. В нее войдут х,у,у¢ . Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.
Пример: Найти у'", если х2+у2=1.
Решение: Дифференцируем уравнение х2+у2-1=0 по х: 2х+2у· у¢ =0. Отсюда у'=-х/у. Далее имеем: (так как х2+у2=1), следовательно,
функций, заданных параметрически
Пусть функция у=ƒ(х) задана параметрическими уравнениями Как известно, первая производная у'х находится по формуле (23.1)
Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что Аналогично получаем
Пример 23.3
Найти вторую производную функции
Решение: По формуле (23.1) Тогда по формуле (23.2)
Заметим, что найти у"хх можно по преобразованной формуле (23.2):
Дифференциалы высших порядков
Для функции, зависящей от одной переменной z=f(x) второй и третий дифференциалы выглядят так:
Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции z=f(x) :
При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что dx есть произвольное и не зависящее от x , которое при дифференцировании по x следует рассматривать как постоянный множитель.
Для функции нескильких переменных
Если функция z=f(x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .
Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:
где а произвольные приращения независимых переменных . Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.
Неинвариантность дифференциалов высших порядков
При n≥2 , n-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение d nf зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная x как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x=φ(t).
Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. При n = 2 и y=f(x)=x3 :
если — независимая переменная, то
если и
При, и
С учётом зависимости x=t2, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.