Проверка гипотезы по классическому критерию знаков

1. Предварительная обработка выборок.

Вычисляют разности . Если , то от i –ой пары отказываются, считая, что это – исключение, а не закономерность. Число таких нулей не должно существенно уменьшать n.

2. Статистика критерия.

- число тех , которые больше 0 (число плюсов). Число минусов

Основа статистики. Если эффект воздействия не проявляется, то отклонения от при случайны и должно примерно совпадать с . Поэтому, если верна, то и ( математическое ожидание биномиального распределения с р = ½). Гипотеза , состоящая фактически и том, что , может быть уточнена, то есть

: или

- эффект воздействия положительный или отрицательный. Это уточнение гипотезы проводится после нахождения выборочного значения статистики критерия и определяет выбор формы критерия (односторонний или двусторонний).

3. По заданному УЗ α по таблицам критических значений критерия знаков находят критические значения критерия:

для двустороннего критерия - и , причём ;

для левостороннего критерия - ;

для правостороннего критерия - .

4. По выборкам находят выборочное значение статистики критерия. Если попадает в допустимую область, то принимается. В противном случае отвергается.

Замечание. При больших n критерий знаков становится биномиальным критерием и при верной (p = 1/2) статистика имеет распределение, близкое к стандартному нормальному распределению N(0; 1). В этом случае при использовании двустороннего критерия принимается, если - квантиль распределения N(0; 1).

Критерий знаков прост в использовании, но не достаточно эффективен, так как использует только знаки отклонений и не учитывает величины отклонений, то есть не полностью использует информацию, содержащуюся в выборках.

Ранговый критерий знаков Уилкоксона для связанных выборок

Критерий Уикоксона более точно оценивает ситуацию, чем критерий знаков.

Постановка задачи и основная гипотеза - как в критерии знаков.

1. Предварительная обработка выборок.

1) Вычисляют разности . Если , то от i –ой пары отказываются, считая, что это – исключение, а не закономерность. Число таких нулей не должно существенно уменьшать n.

2) Располагают модули в вариационный ряд (по их возрастанию) и ранжируют полученный вариационный ряд.

3) Выделяют ранги тех модулей , в которых > 0, и обозначают величины таких рангов через .

2. Статистика рангового критерия знаков Уилкоксона

= сумма рангов тех , в которых > 0.

Известно, что

,

при верной

.

3. По данному УЗ α при по таблицам критических значений рангового критерия знаков Уилкоксона находят критические значения статистики критерия:

для двустороннего критерия - и , причём ;

для левостороннего критерия - ;

для правостороннего критерия - .

4. По выборкам находят выборочное значение статистики критерия. Если попадает в допустимую область, то принимается. В противном случае отвергается.

Замечание. При больших n , для которых нет таблиц критических значений, используют то, что при верной статистика имеет распределение, близкое к N(0; 1).

В этом случае при использовании двустороннего критерия принимается , если - квантиль нормального распределения N(0; 1).

Пример. В группе детского сада 9 детей с именами А, Б, …, И. 6 января подсчитали число хороших поступков каждого – выборка . В Сочельник им рассказали сказку и 7 января подсчитали число хороших поступков каждого – выборка . Имела ли сказка эффект воздействия на поведение детей?

Проверка . n = 9

Проверка по критерию знаков.

Число плюсов .

Для УЗ α = 0,05 из таблиц , следовательно, принимается – эффект воздействия сказки не проявился. Большой размах между критическими значениями критерия объясняется малым n.

Проверка по критерию Уилкоксона.

Для УЗ α = 0,05 из таблиц .

, следовательно, принимается.