Ранжирование выборки
Рассматривается ГС со случайным
признаком Х , измеренным в порядковой
шкале. Вариационный ряд выборки объёма
n из этой ГС в
идеальном случае имеет вид
(например, в случае непрерывной случайной
величины Х , когда вероятность
совпадения двух значений в выборке
равна 0). Но на практике в выборке могут
быть одинаковые значения, тогда
вариационный ряд имеет вид
.
Ранжированные выборки - это приписывание каждому члену вариационного ряда его порядкового номера – ранга в вариационном ряду выборки.
Пример 1. Выборка 2, 5, 19, 8, 1, 4.
Вариационный ряд 1, 2 4, 5, 8, 19.
Ранги членов 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Сложности в ранжировании возникают, когда среди элементов выборки встречаются совпадения, Тогда используют средние ранги , которые могут быть дробными.
Пример 2.
Вариационный ряд 1 1 2 2 2 4 5 19,
Ранги членов 1,5 1,5 4 4 4 6 7 8,
так как 1,5 = (1 + 2) / 2 , 4 = (3 + 4 + 5) / 3.
При большом числе совпадающих значений в выборке следует либо повысить точность измерения признака Х , либо перейти к номинативной шкале.
Проверка гипотезы об однородности двух ГС по критерию Уилкоксона (по критерию суммы рангов)
Этот критерий эквивалентен критерию Манна-Уитни.
Постановка задачи – как в критерии Манна-Уитни.
Проверка гипотезы по критерию Уилкоксона
Предварительная обработка выборок.
Записывается вариационный ряд для выборок из ГС I и ГС II. Затем общий вариационный ряд ранжируется.
Статистика критерия Уилкоксона (статистика суммы рангов)
W(m, n) = сумма рангов элементов выборки из ГС I в общем вариационном ряду. Аналогично можно определить статистику W(n, m).
Существует связь статистик Уилкоксона и Манна-Уитни:
.
Поэтому применение критерия Уилкоксона даёт тот же результат, что и критерий Манна-Уитни.
3. По данному УЗ α при использовании правостороннего критерия по таблицам находят
.
Для левостороннего критерия
.
(*)
При двустороннем критерии по таблицам
находят
и по формуле (*) -
.
По выборкам находят выборочное значение
статистики критерия. Если
попадает в допустимую область, то
принимается. В противном случае
отвергается.
Проверка гипотезы об однородности двух гс в случае связанных выборок
Постановка задачи. Пусть
выборка из ГС I ,
- выборка из ГС II и объёмы
выборок одинаковы равны n.
Считается, что выборки связаны парами
.
(*)
Пары независимы друг от друга, но
и
в парах связаны некоторым образом.
Гипотеза об однородности : законы распределения ГС I и ГС II одинаковы.
Практически важная интерпретация задачи.
На объекты ГС I оказывается некоторое воздействие, которое может оказать влияние на распределение признака Х объектов ГС I. После воздействия получаем ГС II. Изменилось ли распределение признака Х после воздействия или оно осталось таким же, как было в ГС I ? Иными словами, произвело ли воздействие наблюдаемый эффект на объекты ГС I ?
Гипотеза - воздействие не имело эффекта.
Гипотеза - проявился эффект воздействия.
Для проверки из ГС I производят выбору n объектов, у которых измеряют величину Х до воздействия, получая выборку , и, после воздействия, получая выборку . Отсутствие или наличие эффекта воздействия, то есть гипотеза , проверяется по парам (*).