1.13. Математическое понятие: термин, объем, содержание. Классификация понятий. Требования к классификации. Способы образования математических понятий.

Математическое понятие – отражение в мышлении отличительных свойств форм и количественных отношений действительного мира.

Понятие – это форма мышления в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения.

Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия.

Объем – множество объектов, к которым применимо данное понятие.

Под классификацией понятий понимается разделение множества объектов, составляющих объём родового понятия на виды.

Правильная классификация предполагает соблюдение опреде­ленных условий:

1. Классификация должна проводиться по определенному приз­наку, остающемуся неизменным в процессе классификации. В при­веденном примере таким признаком является число простых дели­телей данного натурального числа.

2. Понятия, получающиеся в результате классификации, долж­ны быть взаимно независимыми. В приведенном примере это выра­жается тем, что пересечение множеств простых, составных чисел и единицы пусто.

3. Сумма объемов «понятий, получающаяся при классификации,должна равняться объему исходного понятия. В приведенном примере числа простые, составные и единица исчерпывают все множество натуральных чисел.

4. В процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду.

Между содержанием и объемом понятий существует обратная зависимость: если увеличить содержание понятий, то уменьшится его объем, и наоборот.

Процесс формирования понятий, характеризуется стадиями:

1. восприятие. 2. представление. 3. понятие.

Пример:формирование понятия о числе 3. На стадии восприятия знакомим детей с конкретнымимнож-ми: 3 яблок, 3 листов и т.д.

Восприятие – существует в сознании человека в то время, когда какие-либо объекты или явления взаимодействуют на его органы чувств.

Убираем предметы и предлагаем детям забыть о том, какие это объекты, но спрашиваем было ли что-то общее у этих предметов. В сознание детей должно запечалиться число предметов, без употребления числа «3». Если добились этого, то в сознание детей создалась новая форма о числе 3.После выкладывания детьми групп предметов, на доске записывают цифру 3 и проговаривают.В познании понятия выражаются с помощью признаков посредством речи и символов.

Классификация понятий - последовательное многоступенчатое разделение множества объектов на классы с помощью некоторого свойства (или свойств)

Классификации считается правильной, если: признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации; понятия, получаемые в классификации - взаимонезависимые; сумма объемов понятий, получаемых при классификации, равна объему исходного понятия; в процессе классификации осуществляется переход к ближайшему в родовом понятии виду.

Виды классификаций. Дихотомическая( трихотомическая), где осуществляется многоступенчатое разбиение на два (три) противоречащих понятия; иерархическая, где каждый член является соподчиненным понятием; последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям. При помощи классификации на основе сходства и различий объектов раскрывается объем понятия.

Образование понятия. Выделение с помощью анализа признаков объекта. Соединение с помощью синтеза существенных признаков объекта. Отбрасывание с помощью абстрагирования несущественных признаков. Образование с помощью обобщения единого целого, являющегося понятием.

Виды понятий.Сравнимыми называются понятия, если можно указать общий для них универсум (множество объектов, в терминах которого определяются понятия). Совместными называются понятия, объемы которых имеют общие элементы Равнозначныминазываются понятия, объемы которых полностью совпадают. Пересекающимися называются понятия, объемы которых частично совпадают. Находящимися в отношении включения называются понятия, если объем одного входит в объем другого.

14. Математическое предложение как средство выражения суждения. Основные виды математических суждений. Условная форма математических предложений. Четыре вида предложений, записанных в условной форме. Связь между их истинностью. Необходимое и достаточное условия.

Формой связи понятий друг с другом является суждение. В каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями, и этим самым утверждается наличие связи или взаимоотношений между объектами, охватываемыми соответствующими понятиями. Если суждения правильно отображают эти объективно существующие зависимости между вещами, то мы такие суждения называем истинными, в противном случае суждения будут ложными. Так, например, суждение "всякий ромб является параллелограммом" - истинное суждение; суждение "всякий параллелограмм является ромбом" - ложное суждение.

Таким образом, суждение - это такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей). Всякое суждение можно рассматривать как включение или невключение (частичное или полное) одного понятия в класс другого понятия.

Например, суждение "всякий квадрат есть ромб" указывает, что понятие "квадрат" включается в понятие "ромб"; суждение "пересекающиеся прямые не являются параллельными" указывает, что пересекающиеся прямые не принадлежат множеству прямых, называемых параллельными.

Суждение имеет свою языковую оболочку - предложение, однако не всякое предложение является суждением. (Математическое суждение принято называть предложением). Характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении.

Например, предложение "треугольник АВС равнобедренный" выражает некоторое суждение; предложение "Будет ли АВС равнобедренным?" не выражает суждения.

Суждения образуются в мышлении двумя основными способами: непосредственно и опосредованно. В первом случае с помощью суждения выражается результат восприятия, например "эта фигура -т- круг". Во втором случае суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением. Например, "множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура - окружность".

Основные виды математического суждения

Аксиома (греч. "axioma" - авторитетное предложение "то, что приемлемо") - предложение, принимаемое без доказательства. Определенное число аксиом образует систему отправных, исходных положений некоторой научной теории, лежащую в основе доказательств других положений (теорем) этой теории, в границах которой каждая из аксиом принимается без доказательства. Таково, например, известное положение евклидовой геометрии "Через две точки проходит единственная прямая".

Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фундамент математической теории. К системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются, как известно, требования независимости, непротиворечивости, полноты.

Постулат - это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями. Нередко постулаты являются частью определения некоторого понятия или некоторой системы понятий.

Например, отношение эквивалентности определяется тремя постулатами.

Именно для того, чтобы некоторое отношение т, заданное на множестве А, было отношением эквивалентности, должны иметь место следующие свойства:

1) отношение должно быть рефлексивным, т. е.

2) отношение должно быть симметричным, т. е.

3) отношение должно быть транзитивным, т. е.

Известное отношение равенства является одним из конкретных примеров отношения эквивалентности.

Обозначив высказывания, соответствующие этим трем утверждениям, через R, S и T, имеем следующее определение: отношение является отношением эквивалентности, тогда и только тогда, когда .

Аналогично понятие "параллельные прямые" а || b определяется двумя постулатами: 1) ; 2) .

Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой. В теореме должно быть ясно указано: 1) при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы); 2) что об этом объекте утверждается (заключение теоремы). Пример. В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам. Здесь условие теоремы: р- четырехугольник-параллелограмм, диагонали его пересекаются; заключение теоремы: q- точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам.

Чтобы легче выделить условие и заключение теоремы, ее часто формулируют в виде импликации, применяя логический союз: "если..., то...".

Так, например, теорему о диагоналях параллелограмма можно сформулировать подругому, не меняя ее смысла: "Если четырехугольник - параллелограмм и диагонали его пересекаются, то в точке пересечения они делятся пополам".

Теорему, как известно, можно записать в общем виде наязыка логики так: .

Таким образом, доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т. е., приняв, чтоp истинно, в соответствии c правилами вывода показать, что q истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание - теорема истинно в целом.

Известно, что, имея некоторую теорему , назовем ее прямой теоремой, можно образовать новую теорему и не одну:

1) обратную: ; 2) противоположную: ; 3) обратную противоположной: .

Замечание: Для определения необходимо условие следует подобрать контр пример, опровержение данного утверждения.

Условие р называется необходимым и достаточным для q, если истины одновременно обе импликации: (pq) и (qp), т.е. имеет место эквивалентность.

Характеристическое свойство наиболее полно определяет объект, выделяя его из некоторого множества сходных объектов, позволяет его сконструировать.

Например, характеристическое свойство арифметической прогрессии:

начиная со второго члена, все члены прогрессии удовлетворяют свойству: - быть средним арифметическим двух соседних с ним членов (или отстоять от него на равных расстояниях).