1.Определение линейного пространства. Примеры.

Рассмотрим некоторое множество V, элементов произвольной природы. Будем говорить, что в множестве V определена внутренняя операция. Ели двум элементам a,bϵVставиться в соответствие элемент сϵV, по некоторому правилу, будем обозначать c=a+b (+-внутр операция), некоторое поле Р. Будем говорить, что в мн-веV задана внешняя операция над полем Р, если каждому элементу aϵV и некоторому αϵР ставиться в соответствие элемент b=α*a.

Опред.Линейным(векторным) пространством над полем Р будем называть множество V с элементами произвольной природы, если в этом множестве определены внутренние и внешние операции, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. для любых a, bϵVсправедливо а+b=b=a.

2. для любых a, b,сϵV справедливо (a+b)+c=a+(b+c)

3. существует ō – нейтральный элемент, такой что для любого aϵV справедливо равенство: а+ ō=а.

4. для всякого aϵV существует (-а), такой что а+(-а)=ō

5. для любого αϵР, для всех a, bϵV: α(а+b)=αа+αb

6. для всех α, βϵР и для всех аϵV справедливо (α+β)а=αа+βа

7. для всех α, βϵР, для всех аϵV справедливо:(α*β)*а=α*(β*а)

8. 1*а=а, для всех аϵV.

Примеры лин. пространств:

1. Возьмем мн-во V- мн-во трёхмерных свободных векторов: P=R. В дальнейшем элементы линейного пространства будем называть векторами, потому что лин. Пространства назыв. векторными.

2. В качестве V возьмём мн-во R и в качестве Рвозьмём R:V=R, P=R, легко проверить что V является пространством над полем R.

3. V=R, P=С, над полем С не будет линейного пространства, V=R не является линейным пространством над полем С.

4. V=R_n*m-множество матриц размерностью n*m с дейсвительными элементами, а в качестве поля Рвозьмём тоже R:P=R.

5. V=R₊-множество положит. чисел, поле P=R. а*b-внутр операция(aϵV, bϵV ,то и с=а*bϵV. Внешняя операция: а ^αϵV.

Внутр ивнешн операции должны соответствовать 8 условиям:

1. a*b=b*a,для всех a,bϵR₊

2. (a*b)*c=a(b*c)

3. a*1=a

4. (-a)=1/a, a*1/a=1

5. (a*b)^α=a^α *b^α

6. a^αβ=(a^β)^α

7. a^α+β=a^α*a^β

8. a¹=a

т.о. является лин пространством

2. Свойства линейных пространств

1. в любом линейном пространстве ō (нейтральный элемент, ноль)(единственность ō)

∆. Пусть существует ещё один ō₁ :а+ō=а; а+ō ₁=а; ō₁=ō₁+ō=ō+ō ₁=ō

2. для всякого а ϵV существует единственный (-а)(единственность обратного элемента)

∆. а+(-а)=ō ; а+а₁=ō; а₁=а₁₊ō=а₁+(а+(-а))=(а₁+а)+(-а)=(а+а₁)+(-а)=ō+(-а)=(-а)+ō=(-а)

3. 0*а=ō

∆. 0*а=0*а+ō=0*а+(а+(-а))=0*а+(1*а+(-а))=(0*а+1*а)+(-а)=(0+1)а+(-а)=1*а+(-а)=а+(-а)=ō

4. (-1)*а=(-а)

5. Для всех αϵР , α*ō=ō

3.Линейная зависимость системы векторов.Vнад полем P

Набор чисел α₁,α₂…..α_n, α_iϵР называется ненулевым, если среди них имеется по крайней мере одно число, отличное от нуля. И нулевым, если все числа нули.

Выражение вида α₁а₁+α₂а₂+…..α_nа_n называют линейной комбинацией векторов а₁,а₂…..а_n.

Опр.вектора а₁,а₂…..а_nиз V называются линейно зависимыми, если существует ненулевой набор чисел α₁,α₂…..α_n, такой что: α₁а₁+α₂а₂+…..α_nа_n=Ō→(1), векторы а₁,а₂…..а_nназываются линейно-независимыми, если равенство 1 возможно лишь в том случае, когда все α_i=0,i=1…..n.

1. V₃-мн-во свободных векторов в трёхмерном пространстве. Возьмём 2 вектора ₁, ₂: α_{1 1}+ α_{2 2}= , векторы коллинеарны если 3 вектора ₁, ₂, ₃- линейно независимые.

2. V=R, Р=R. а₁,а₂ϵR=V, α₁,α₂ϵ₂R=Р→αа₁+αа₂=0

3. V=с, Р=с. а₁=1,а2=i. α₁=1,α₂=iϵР=с. 1*1+i*i=0

4. V=С, Р=R, а₁=1,а2=i – не будут линейно завис., α₁*1+α₂*i =0, α₁=α₂=0

5. Метод частных значений: V- мн-во непрерывных функций.

1. а₁=1,а₂=sin x, a₃=sin 2x. α₁*1+α₂*sin x+α3*sin 2x=0. x=0,α₁=0.. x=π/2, α₂=0, x=π/4, α₃=0

6. Метод дифференцирования: а₁=1,а₂=x, a₃=x² . α₁*1+α₂*x+α₃*x²=0.α₁=0,α₂=0,α₃=0.линейно независимы

Св-ва линейной зависимости(независимости):

1. Если среди векторов а₁,а₂…..а_n. имеется 0-вектор(нейтральн элемент)-линейно зависимая.

∆. 2) а₁=0, 1,0…0. 1*Ō+0* а₂+0* α₃+…..+0* а_n=Ō

2. Если система векторов а₁…..а_n имеет линейно зависимую подсистему а₁…..а_m, m<n, то эта система векторов линейно зависима.

∆. а₁…..а_m – линейно-зависимы, то существует ненулевой набор а₁…..а_n, то существует α₁а₁+…..α_mа_m =Ō

3. а₁…..а_n-линейно-зависима, то по крайней мере один из них выражается в виде линейной комбинации остальных.

∆. а₁…..а_nα₁а₁+…..α_nа_n =Ō→/α₁. Пусть α₁≠0, а₁+α₂/α₁*а2+…..α_n/α₁*а_n=Ō. а₁= -α₂/α₁*а2…..-α_n/α₁*а_n

4Базис лин. Пр-ва, размерность. Коорд-ты.

Базисом в пр-ве L над полем Р наз-ся система в-ров (1), удовл-я усл-ям:

1Система (1) лин. независима;

2"xϵL $ : x=α₁a₁+α₂a₂+…+α_na_n(2)

Коорд. в-ра х в базисе (1) – числа (α_iϵP), удовл-щие усл-ю (2)

Св-ва:

1Если коорд. вектора в некотором базисе =0,то это нулевой вектор.

2 во всяком базисе имеет нулевые коорд.

3Коорд. в-ров в заданном базисе определяются однозначно.

4 При сложении векторов их коорд. заданные в одном и том же базисе складываются.

5При умножении вектора на число, его коорд. умн-ся на число.

Критерий линейной зависимости: Для того, чтобы в-ры а1…аn были лин. завсисимы, необх. и дост., чтобы rank матрицы, посторенной на корд. столбцах этих векторов а1…ак в некотором базисе был < числа векторов.

Rank (A1,A2….Ak)<K

Критерий линейной независимости: Для того, чтобы в-ры а1…аn были лин. незавсисимы, необх. и дост., чтобы rank матрицы, посторенной на корд. столбцах этих векторов а1…ак в некотором базисе был =числа векторов.

Rank (A1,A2….Ak)=K

Размерность: Рассмотрим пр-во V на полем Р

Определение: Пр-во V наз-ся n-мерным, если в нем сущ-т n-лин.независимых вект-в, а всякие (n+1) в-ры будут лин.зависимы. Число n- размерность пр-ва V. Обозначение: dimV=n.

Чтобы подчеркнуть, что пр-во n-мерное, пишут Vn

Пр-во V Наз-ся бесконечномерным, если для всякого VnϵN найдется n-линейно-независимых в-в.

Теорема: Пр-во наз-ся n-мерным тогда, когда в нем существует базис из n-векторов.