Уравнения линейных систем управления

1. Методы анализа и синтеза линейных систем управления

2. Передаточная функция

3. Переходная и импульсная переходная функции

4. Частотные характеристики

1. Анализ и синтез линейных систем управления обычно осуществляется одним из двух основных методов:

1. метод, использующий преобразованя Лапласа и Z-преобразования, передаточных функций, структурных схем и графов (частотный метод);

2. метод пространства состояний, отождествляемый с современной теорией управления. При изучении цифровых состем управления метод пространства состояний имеет следующие преимущества перед частотным методом:

• описание в пространстве состояний является естественным и удобным для решения задач на ЭВМ;

• позволяет унифицировать описание цифровых систем с различными типами квантования;

• позволяет унифицировать описание одномерных и многомерных систем;

• может применяться к некоторым типам нелинейных и нестандартных систем.

В пространстве состояний непрерывная система описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка, называемых уравнениями состояния.

=Ax(t)+Bu(t),

Y=Cx(t)+Du(t),

где A - матрица размерности nxn,

B - матрица размерности nxm,

C - матрица размерности nxq,

D - матрица размерности qxm.

Однако не должно складываться впечатления, что использование метода пространства состояния для анализа и синтеза систем управления всегда имеет очевидные преимущества. Достоинства хорошо известного частотного метода состоит в его компактности, и большое число задач проектирования реальных систем управления по-прежнему решаются с использованием методов синтеза, основанных на определении передаточной функции.

Рассмотрим в первую очередь вопросы анализа и синтеза линейных ситем управления с применением первого метода. Из теории автоматического управления известно,что совокупность технических средств(машин, орудий труда, средств механизации) выполняющих технологический процесс, является объектом управления (ОУ). Совокупность средств управления и объекта образует систему управления. Всякий ОУ характеризуется совокупностью физических величин, называемых показателями, координатами, а иногда параметрами. Необходимость в управлении значениями координат возникает в том случае, когда нормальный ход процесса нарушается из-за различного рода возмущении, т.е. колебаний нагрузки, воздействий внешней среды или внутренних помех.

Рис. 1. Обобщенная математическая модель объекта управления x=A(Z,U).

В простейшем случае, когда А – функциональная зависимость: x=F(Z,U), и если ОУ являются безинерционным, то зависимость называют статической характеристикой ОУ.

Если ОУ обладает инерцией, то изменение координат под воздействием возмущений Z или управлений U происходят не мгновенно и в этом случае объект называют динамическим, а оператор А в этом случае является дифференциональным уравнением (или ситемой ДУ). Изменения координат в нормальном требуемом ходе технологич. процесса (ОУ) определяются совокупностью правил, предписаний или математических зависимостей, называемых алгоритмом функционирования. В ТАУ алгоритм функционирования считают заданным. Алгоритм управления будет зависеть как от алгоритма функционирования, так и от динамических свойств системы и возмущений.

Оператор А (а также структурные схемы) САУ называют её математической моделью. Такое название обусловлено тем, что при математическом описании физических процессов всегда делают какие-либо допущения и приближения.

Приведем пример академика Л.С. Понтрягина, в котором показывается, как можно математически описать движение материальной точки в трехмерном евклидовом пространстве.

Механическое состояние этой точки в каждый момент времени определяется шестью величинами: геометрическими координатамиточки x₁, x₂, x₃, и скоростями которые будут составлять векторную скорость . Движение точки в пространстве определяется следующим уравнением:

, (1)

где m-масса точки, - её ускорение, а - сила, действующая на точку, которая здесь предполагается зависящей от положения точки в пространстве. Уравнение (1) можно использовать в качестве математической модели движения летательного аппарата (ЛА). Здесь =(x₁, x₂, x₃) – движение центра тяжести ЛА. Однако в действительности движениеЛА зависит от его ориентации в пространстве как твердого тела и тяги двигателя, которую обозначим через . Тогда уравнение (1) запишется в виде:

, (2)

Величина называется управлением. Выражение (2) является системой дифференциальных уравнений, которая описывает поведение объекта управления в пространстве и времени.

Рассмотрим далее одномерный ОУ (рис.1), поведение которого описывается дифференциальным уравнением 2-го порядка:

, (3)

Это уравнение динамики системы.

Пусть при постоянных входных величинах U= U₀ и Z= Z₀ процесс в ОУ с течением времени установится, т.е. величина x= x₀ , тогда уравнение (3) примет вид:

, (4)

Это уравнение статики системы. Статическую характеристику можно построить экспериментально, подавая на вход системы постоянное воздействие и измеряя выходную величину x₀ после окончания переходного процесса, или расчетным путем используя уравнение статики.

Уравнение (3) записывают в символическом виде:

, (5)

или в следующем виде:

, (6)

где ,

Введем обозначения:

- собственный оператор,

- операторы воздействия.

Тогда уравнение (6) можно записать в операторной форме:

, (7).

2. Передаточная функция.

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме. ОУ (рис.1.) можно характеризовать двумя передаточными функциями: