Определение времени выполнения параллельного алгоритма.

Вычислительная схема алгоритма G совместно с расписанием Hp может рассматриваться как модель параллельного алгоритма Ap(G,Hp), исполняемого с использованием p процессоров.

• Время выполнения параллельного алгоритма определяется максимальным значением времени, применяемым в расписании

T_p(G, H_p) =

• Для выбранной схемы вычислений желательно использование расписания, обеспечивающего минимальное время исполнения алгоритма:

T_p(G) =

• Уменьшение времени выполнения может быть обеспечено и путем подбора наилучшей вычислительной схемы:

T_p =

Все оценки могут быть получены для разного числа процессов.

• Для анализа максимально возможного параллелизма можно определить оценку наиболее быстрого исполнения алгоритма:

T∞ = – минимально возможное время выполнения параллельного алгоритма при использовании неограниченного количества процессоров.

• Оценка T1 определяет время выполнения алгоритма при использовании одного процессора и представляет, тем самым, время выполнения последовательного варианта алгоритма решения задачи. Построение подобной оценки является важной задачей при анализе параллельных алгоритмов, поскольку она необходима для определения эффекта использования параллелизма (ускорения времени решения задачи).

T₁ = - при оптимальном выборе модели.

• Время решения различных задач на одном процессоре различается.

T₁* = min T₁ – наиболее быстрый из последних алгоритмов, где операция минимума берется по множеству всех возможных последовательных алгоритмов решения данной задачи.

Обозначим: d(G) — диаметр (длина максимального пути) графа.

Теорема 1.

Минимально возможное время выполнения параллельного алгоритма определяется длиной максимального пути вычислительной схемы алгоритма, т.е.

T∞ (G) = d (G)

Теорема 2.

Пусть существует вершина j, которая является вершиной вывода, такая, что в нее существует путь (i⟹j) из любой вершины i - вершины ввода.При этом число входных дуг, для каждой вершины не превышает двух. Тогда будет справедлива оценка:

T∞ (G)≥

Где n - число вершин ввода.

Теорема 3.

При уменьшении числа используемых процессоров время выполнения алгоритма увеличивается пропорционально величине уменьшения количества процессоров:

q=cp , где c<1 (>0) ⟹ T_p cT_q

Теорема 4.

Для  числа процессоров справедлива следующая оценка:

T_p < (T∞ + T₁/p)

Теорема 5.

Времени выполнения алгоритма, которое сопоставимо с минимально возможным временем T∞, можно достичь при количестве процессоров порядка p ~T1/T∞, а именно:

Если p ≥ T₁/ T∞, то T_p 2T∞.

При меньшем количестве процессоров время выполнения алгоритма не может превышать более чем в 2 раза наилучшее время вычислений при имеющемся числе процессоров:

Если p< T₁/ T∞, то T₁/p≤ T_p ≤2 T1/p

Правила разработки алгоритмов.

1. Схема графа должна быть выбрана таким образом, чтобы его диаметр был бы минимальным.

d(G)  min

2. Целесообразно выбирать число процессоров следующим образом:

p T₁/T∞.

3. Для времени выполнения алгоритма с использованием p процессоров выполняются ограничения рассмотренных соотношений.

Лекция 2