- •Случайные величины
- •Понятие случайной величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Коэффициент корреляции
- •Линейная регрессия
- •Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения вероятности
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Основные распределения непрерывных случайных величин
- •Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины х, заданной законом распределения
Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическнм отклонением случайной величины X (стандартом) называется квадратный корень из ее дисперсии
(18)
Из свойства 3 и формулы (18) следует, что в случае суммы взаимно независимых случайных величин справедлива формула
(19)
Пример 8. В условиях примера 7 найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение прибыли при n = 1000, р = 0,8, S= 100 тыс. ден. ед. и r = 30 %.
Решение. Ставка ссудного процента удовлетворяет условию, чтобы математическое ожидание прибыли было положительным, а именно: 30 > 100 (1 – 0,8)/0,8. Математическое ожидание прибыли
М (П) = Sn (rp/100 – q )= 100 * 1000 (30 * 0,8/100 – 0,2) = 4 млн ден.ед.
Среднее квадратическое отклонение прибыли
= (1 + r/100) S = 1,3, 100 =
= 1644,38 тыс.ден.ед.
Коэффициент корреляции
Корреляционным моментом случайных величин X и Y или ковариацией называется математическое ожидание произведений их отклонений от математического ожидания случайных величин X и Y: (20)
Корреляционный момент служит для описания связи между случайными величинами X и Y. Из свойств математического ожидания легко убедиться в том, что можно записать в следующем виде:
(21)
или
Из формулы (21) следует, что корреляционный момент двух независимых случайных наличии равен нулю, так как для независимых СВ
Если корреляционный момент не равен нулю, то величины X и Y являются зависимыми.
Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
(22)
Коэффициент корреляции является безразмерным и не зависит от выбора системы измерения случайных величин, а его абсолютная величина не превосходит единицы:
или (23)
Две случайные величины X и Y называется коррелированными. если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля. Если же их корреляционный момент равен нулю, то X и Y называются некоррелированными. Таким образом, две коррелированные случайные величины (т.е. при ) являются также и зависимыми. Обратное утверждение неверно, т.е. две зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными
Линейная регрессия
Пусть (X, Y) — двумерная случайная величина, где X и Y — зависимые случайные величины. Оказывается возможным приближенное представление величины Y в виде линейной функции величины X:
(24)
где а и b — параметры, подлежащие определению. Обычно эти величины определяются с помощью метода наименьших квадратов.
Функция называется среднеквадратической регрессией Y на X
Линейная средняя квадратическая регрессия Y на X имеет вид
, (25)
где определяется формулой (22), ту = М (Y) и тx = М (X) — математические ожидания, соответственно, случайных величин Y и X.
Коэффициент b = называют коэффициентом регрессии Y на X, а прямую, реализующую линейную зависимость (25) случайной величины Y от случайной величины X,
(26)
– прямой среднеквадратической регрессии Y на X. Поскольку зависимость (26) является приближенной, то существует погрешность итога приближения, называемая остаточной дисперсией:
(27)
Для оценки среднеквадратичной погрешности линейной регрессии обычно используют величину .