Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть ДСВ X имеет закон распределения:

X	x1 x2 x3 … xn
P	p1 p2 p3 … pn

Математическим ожиданием (МО) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значении на их вероятности: (6)

Из этого определения следует, что МО есть некоторая постоянная неслучайная величина. Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно среднему арифметическому значению случайной величины. МО в точности совпадает со средним арифметическим, если все вероятности значений ДСВ в формуле (6) равны, а именно, р_i = р= 1/п

Пример 4. Найти МО невозврата кредитов по данным примера 2.

Решение. Воспользуемся итоговой таблицей распределения ДСВ, данной в этом примере и формулой (6):

M (X) = 5 ^. 0,00032 + 4 ^. 0,0064 + 3 ^. 0,0512 + 2 ^. 0,2048 + 1 ^. 0,4096 + 0 ^. 0,32768 = 1

Основные свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно С:

M (С) = С (7)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (сХ) = сМ (Х) (8)

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

М (Х₁ + Х₂ + … + Х_m) = М (Х₁) + М (Х₂) + … + М (Х_m) (9)

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

М (Х₁ Х₂ … Х_m) = М (Х₁) М (Х₂) … М (Х_m) (10)

Пример 5. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. ден. ед., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется закону распределения

Х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P	0,25	0,2	0,1	0,1	0,1	0,1	0,05	0,05	0,025	0,025

Найти МО ежедневной прибыли при цене машины в 150 тыс. ден. ед.

Решение. Очевидно, что ежедневная прибыль подсчитывается по формуле:

П = 150 Х – 120

Искомое МО находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания (в тыс. ден. ед.):

М (П) = М (150 Х – 120) = 150 М (Х) – 120 = 150 ^. 2,675 – 120 = 281,25

Дисперсия дискретной случайной величины

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: X – М (X).

Дисперсией или рассеянием называется математическое ожидание квадрата отклонения ДСВ от МО:

D (X) = M [X – M (X)]² (11)

Формула дисперсии в развернутом виде:

D (X) = [x₁ – M (X)]² p₁ + [x₂ – M (X)]² p₂ + ... + [x_n– M (X)]² p_n (12)

При вычислении дисперсии удобно воспользоваться формулой, которая непосредственно выводится из формулы (11):

D (X) = M (X²) – [M (X)]² (13)

Из формулы (13) следует, что дисперсия вычисляется по правилу: мат.ожидание квадрата минус квадрат мат.ожидания СВ.

Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 5.

Решение. Закон распределения случайной величины X² имеет вид

Х	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
P	0,25	0,2	0,1	0,1	0,1	0,1	0,05	0,05	0,025	0,025

Математическое ожидание М (X²) подсчитывается из этой таблицы:

М (X²) = 0^, 0,25 + 1^, 0,2 + 4^, 0,1 + 9^, 0,1 + 16^, 0,1 + 25^, 0,1 + 36^, 0,05 + 49^{, ,}0,05 + 64^, 0,025 + 81^, 0,025 = 13,475.

Математическое ожидание М (X) = 2,675. Следовательно, согласно формуле (13), получаем искомую величину дисперсии:

D (X) = M (X²) – [M (X)]² = 13,475 – 7,156 =6,319

Основные свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (С) = 0 (14)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (С X ) = С² D (X) (15)

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (Х₁ + Х₂ + … + Х_n) = D (Х₁) + D (Х₂) + … + D (Х_n) (16)

Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D (X + С) = D (X), где С — постоянная величина. Кроме того, дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле

D (X) = пр (1 – р) = прq (17)

Отметим следующий важный результат: для случайной величины, распределенной по закону Пуассона (5), математическое ожидание и дисперсия равны параметру λ данного распределения. Итак,

если ДСВ Х распределена по биномиальному закону, то

M(X)=np, D(X)=npq

если ДСВ Х распределена по закону Пуассона, то

M(X)=λ, D(X)=λ

Пример 7. Банк выдал кредиты п разным заемщикам в размере 5 ден. ед. каждому под ставку ссудного процента r. Найти математическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата кредита заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери кредита для банка в каждом испытании равна q=1–р. Пусть X — число заемщиков, возвративших кредит со ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется формулой:

П = (1 + r/100) SX – пS.

ДСВ X является случайной величиной с биномиальным законом распределения. Тогда математическое ожидание прибыли равно:

М(П) = (1 + r/100) S * М (X) – nS = (1 + r /100) Snp – Sn = Sn (rp/100 – q)

Поскольку выдача кредита имеет смысл лишь при положительном математическом ожидании прибыли (положительная средняя величина прибыли), то из условия М(П)>0 вытекает условие на ставку ссудного процента

r >100 q/p или r > 100 (1 – p)/ p.

Дисперсия прибыли банка равна:

D (П) = D ((1 + r/100) SX – nS) = (1 + r/100)² S²npq