Случайные величины

1. Понятие случайной величины

Случайной величиной (СВ) называется такая величина, которая в результате испытания принимает заранее неизвестное и зависящее от различных случайных причин лишь одно возможное значение.

Каждой случайной величине соответствует некоторое множество значений, которые она может принимать. Обычно случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X,Y,…, а принимаемые ими значения, соответственно, малыми буквами x₁, x₂, …, x_m; y₁, y₂, …, y_n. Например, X - число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать целые значения от 0 до 100, Y – число очков при бросании игральной кости – случайная величина, которая может принимать значения от 1 до 6. Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, принимающая несчетное, континуальное множество значений.

Примеры ДСВ: число выстрелов до первого попадания в цель, число пассажиров на остановке автобуса, количество бракованных деталей в отобранной партии и т.д.

Примеры НСВ: время безотказной работы прибора, температура воздуха в определенный момент времени, курс доллара по отношению к рублю, прибыль фирмы и т.д.

Более строгое определение СВ базируется на теории множеств. А именно, СВ – это числовая функция, определенная на ПЭС (пространстве элементарных событий) Ω и такая, что каждому элементарному событию ω она ставит в соответствие некоторое число Х, т.е. Х=Х(ω).

Пусть опыт заключается в подбрасывании монеты 2 раза. Тогда ПЭС состоит из 4 элементарных событий: Ω={ω₁, ω₂, ω₃, ω₄}. А именно, ω₁=ГГ, ω₂=ГР, ω₃=РГ, ω₄=РР, где Г – герб, а Р – решка. Пусть Z – число появлений решки в данном опыте. Тогда Z(ω₁)=0, Z(ω₂)=1, Z(ω₃)=1, Z(ω₄)=2 или, короче, Z={0, 1, 2}. Таким образом, эта СВ принимает 3 возможных значения.

2. Закон распределения дискретной случайной величины

Ясно, что для полного описания СВ знания ее возможных значений недостаточно. Необходимо знать: как часто появляются те или иные значения СВ, т.е. необходимо знать вероятности этих значений. Так, в рассмотренном выше примере вероятности значений, очевидно, таковы: 0,25, 0,5, 0,25. Соответствие между значениями ДСВ и их вероятностями удобно оформлять в виде таблицы:

Z	0 1 2
P	0,25 0,5 0,25

В общем случае закон распределения ДСВ имеет следующий вид:

X	x1 x2 x3 … xn
P	p1 p2 p3 … pn

Законом распределения ДСВ называют соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями.

Поскольку в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события X = x₁, Х = x₂, ..., X = x_n образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей равна единице:

p₁ + p₂ + … + p_n =1 (1)

Если множество возможных значений ДСВ Х бесконечно, то соответствующий ряд вероятностей сходится и его сумма равна единице:

p₁ + p₂ + … + p_n + … =1 (2)

Пример 1. Вероятностный прогноз для величины X - процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение шести месяцев - дан в виде закона распределения

X	5 10 15 20 25 30
P	0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 3 % за месяц сроком на полгода.

Решение. Из финансовой математики известно, что коэффициент наращения по сложным процентам определяется по формуле:

k(n)=(1+j)ⁿ

где j – месячная процентная ставка, n- количество месяцев на всем периоде наращения. В нашем примере

k(6)=(1+0,03)⁶=1,194

Следовательно, прирост суммы на банковском депозите через полгода составит [(1,03)⁶ - 1] * 100 % = 19,4 %.

Вероятность того, что покупка акций выгоднее банковского депозита, определяется суммой вероятностей, соответствующих более высокому росту курса акций:

Р (X >19,4) = р₄+ р₅ + р₆ = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6.