4.5. Неявные функции

Функция, заданная в виде y = f(x) – явная функция. Если функциональная зависимость y от x задана уравнением F(x, y) = 0, то говорят, что функция y задана неявно или что у – неявная функция x (можно x назвать неявной функцией y). Сформулируем без доказательства следующее утверждение.

Теорема. Если функция F(x, y) обращается в нуль в некоторой точке P(x₀, y₀), a F(x, y), F_y'(x, y) определены и непрерывны в окрестности точки P, и F_y'(x, y) ≠ 0, то в некоторой достаточно малой окрестности точки P существует единственная однозначная непрерывная функция y = f(x), для которой F(x, y = f(x)) = 0 и y₀= f(x₀). При этом

f ^/(x₀)= – ,

Например, уравнение e^xy – = 0 определяет y как неявную функцию x: явно выразить y через x не можем. При различных значениях x уравнение определить соответствующее значение y. Например, при x = 0 будет y = 1,

y_x ^/(0) = – = 2.

Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины  , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.