4. Функции многих переменных

4.1. Понятие функции многих переменных

Пусть – некоторое множество в -мерном евклидовом пространстве и каждой точке поставлено в соответствие определенное действительное число . В этом случае говорят, что задана функция переменных. Для обозначения функции n переменных используется та же символика, что и для случая функции одного переменного. Так, в частности, пишут

,

где – вектор переменных , т.е. , при этом множество называют областью определения функции.

Линией (поверхностью) уровня функции

,

называется множество

точек области определения, в которых функция постоянна. Здесь , .

Если рассматривается функция двух переменных, то множества, на которых функция не меняет своих значений, представляют собой, в общем случае, плоские линии. Если же исследуется функция трех и большего числа переменных, то эти множества уже являются поверхностями (гиперповерхностями) в соответствующих пространствах.

Линии (поверхности) уровня у функции не пересекаются.

4.2. Частные производные

Пусть функция , , определена в окрестности точки .

Определение 1. Частной производной функции в точке по переменной , , называется производная функции одного переменного , вычисленная в точке :

.

Таким образом, при вычислении частной производной все переменные фиксируются и рассматриваются как параметры, за исключением того переменного, по которому ищется производная.

Вектор , составленный из частных производных, называется градиентом функции в точке .

Градиент функции определяет направление наибольшего роста функции в рассматриваемой точке.

Заметим, что результаты, изложенные для плоского случая, естественным образом переносятся на случай функции от любого числа переменных.

Пусть функция определена в окрестности точки , имеет частные производные и , и эти производные как функции, рассматриваемые в окрестности точки, в свою очередь, также имеют частные производные. Эти производные называются частными производными второго порядка:

,

,

,

.

При этом частные производные и называют смешанными производными. Заметим, что аналогичным образом определяются частные производные порядка выше второго функций двух и большего числа переменных.

Теорема. Если функция определена вместе с частными производными первого и второго порядков в окрестности точки , смешанные производные и непрерывны в точке , то смешанные производные в этой точке совпадают:

= .

Задача. Найти все частные производные до второго порядка включительно у функции .

Решение. Вычислим частные производные первого порядка:

,

.

Затем посчитаем частные производные второго порядка по одноименным переменным:

,

.

Вычисляя смешанные производные

,

,

убеждаемся в справедливости теоремы.

Матрица

,

составленная из вторых производных, называется матрицей Гессе.

4.3. Экстремумы функций многих переменных

Определение. Пусть функция f(P) = f(x₁,…, x_n) определена в окрестности точки P₀ = (x₁₀,…, x_n0). Если f(P₀) = f(x₁₀,…, x_n0) > f (P) в этой окрестности, то функция f(P) имеет максимум в P₀ (если f(P₀) < f(P), то будет, соответственно, минимум).

Точка P₀ называется стационарной, если в ней все частные производные равны нулю: = 0, i=1,…, n.

Необходимое условие экстремума. Дифференцируемая функция f(x₁,…, x_n) может достигать экстремума (максимума или минимума) лишь в стационарной точке P₀.

Равенство нулю частных производных не является достаточным для экстремума. Например, пусть f(x, y) = x²y³; f /x = 2xy³, f /y = 3x²y², и в точке P₀(0,0) справедливо f /x = f /y = 0. Однако в любой окрестности P₀ функция f(x,y) принимает как положительные (при x > 0, y > 0), так и отрицательные (при x > 0, y < 0) значения, т.е. экстремума нет.

Достаточное условие безусловного экстремума. Функция f(P) в точке P₀ имеет минимум, если

(P₀) > 0, > 0, …,

> 0, … , > 0;

Функция f(P) в точке P₀ имеет максимум, если

(P₀) < 0, > 0,

< 0, … , (–1)ⁿ > 0,

(последний определитель положительный, если n четное; отрицательный – если n нечетное).

Для функции f(x, y) двух независимых переменных в стационарной точке P₀ = (x₀, y₀) имеем следующие условия. Пусть

A = (P₀), B = (P₀), C = (P₀);

тогда в точке P₀:

1. минимум, если A > 0, AC – B² > 0;

2. максимум, если A < 0, AC – B² > 0.

Заметим, что экстремум в точке P₀ нет, если AC – B² < 0.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f(x, y) = x³ + y³ – 3xy.

Решение. Найдем вначале все стационарные точки. Имеем систему уравнений

о ткуда получаем две стационарные точки P₁ = (1, 1), P₂ = (0, 0). Точка P₁ – точка минимума, поскольку

A = (P₁) = 6x|_P1 = 6, B = (P₁) = –3, C = (P₁) = 6y|_P1 = 6.

и

A > 0, = = AC – B² = 66 – 3² = 27 > 0.

Теперь рассмотрим точку P₂. Имеем

A = (P₂) = 0, B = (P₂) = –3, C = (P₂) = 0.

Откуда AC – B² = –9 < 0, т.е. в точке P₂=(0, 0) экстремума нет. Заметим, это видно из того, что если взять точку (, 0),  > 0, то f(, 0) = ³ > 0, а для точки (–, 0) справедливо f(–, 0) = –³ < 0, – т.е. в сколь угодно малой окрестности (0, 0) функция f(x, у) может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

f(x, y, z)= x² + y² + z² + 2x + 4y – 6z.

Решение. Ищем стационарные точки. Решая систему трех уравнений

f_x = 2x + 2 = 0, f_y = 2y + 4 = 0, f_z = 2z – 6 = 0,

получаем единственную стационарную точку P(–1, –2, 3). Используя достаточное условие экстремума:

(P) = 2 > 0, = = 4 > 0, = = 8 > 0.

Выполнены все условия минимума для точки P(–1,–2,3).