Лабораторная работа 6

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Цель и содержание

Цель работы: Экспериментально изучить переходные процессы в цепях первого порядка при подключении цепи к источнику постоянного и гармонического напряжений.

Содержание работы:

1. Экспериментальное установление законов изменения напряжений и токов в цепях первого порядка при скачкообразном изменении входного напряжения.

2. Исследование переходных процессов в цепи первого порядка при подключении к источнику гармонического напряжения.

3. Определение переходного процесса и установившегося режима при воздействии периодических импульсов напряжения на цепь первого порядка.

Теоретическое обоснование

Переходной процесс – процесс перехода от одного периодического режима работы электрической цепи к другому, отличающемуся от первого. Периодическими режимами являются режимы синусоидального и постоянного тока, а также режим отсутствия тока в ветвях цепи.

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммутация – замыкание (размыкание) выключателей, обрыв или короткое замыкание.

Физической причиной переходного процесса является наличие в цепях катушек индуктивностей и конденсаторов, т.к. энергия магнитного и электрического полей в этих элементах не может изменяться скачком.

Переходные процессы быстропротекающие. Переходные токи и напряжения на отдельных участках цепи могут достигать больших значений, опасных для электроустановок. Токи и напряжения переходных процессов необходимо уметь рассчитывать, чтобы на основании расчетных величин переходного процесса разрабатывать меры защиты электрической цепи.

Переходной процесс описывается дифференциальными уравнениями:

1. неоднородным – если схема цепи содержит источники ЭДС и тока;

2. однородным – если в схеме нет источников ЭДС и тока.

В линейной цепи переходной процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями, а в нелинейной – нелинейными дифференциальными уравнениями. Решение линейных дифференциальных уравнений проводят несколькими методами, основные из которых это: классический метод, операторный метод и метод интеграла Дюамеля.

Законы коммутации

1-й закон коммутации: В индуктивном элементе ток непосредственно после коммутации сохраняет свое значение, которое он имел до коммутации , т.е. ток на индуктивности скачком изменяться не может.

2-й закон коммутации: На емкостном элементе напряжение непосредственно после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело перед коммутацией , т.е. напряжение на емкости скачком не изменяется.

Цепями первого порядка называются цепи и , поскольку процессы, происходящие в этих цепях, описываются дифференциальными уравнениями первой степени.

Включение rl и rc- цепей на постоянное напряжение

Из курса математики известно, что уравнение, содержащее неизвестную функцию и ее производные, называется дифференциальным уравнением. В случае подключения RL-цепи на постоянное напряжение (рисунок 11) уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа:

.

(17)

–дифференциальное уравнение, где неизвестная функция – это ток i, а ее производная – . Таким образом, определение тока как функции времени – это и есть решение дифференциального уравнения.

Согласно классическому методу расчета решение линейного дифференциального уравнения равно сумме:

1. частого решения неоднородного уравнения;

2. общего решения однородного уравнения.

1) Частным решением неоднородного уравнения (17) является постоянный ток , т. к. di/dt=0. Это установившийся режим работы цепи, когда в цепи действует постоянная ЭДС.

2) Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс работы цепи без источников. Токи и напряжения этого процесса называют свободными и обозначают i_СВ и u_СВ . В линейных цепях свободные составляющие затухают по экспоненциальному закону .

Если RL-цепь без начального запаса энергии подключить к источнику постоянного напряжения (рисунок 11а), то ток будет нарастать по закону при ≥0, где – мгновенное значение тока, а

– установившееся значение тока после коммутации. Напряжение на индуктивной катушке изменяется скачком до значения Е, а затем убывает по степенному закону (рисунок 11 б).

Рисунок 11 – Изменение тока и напряжения в цепи с последовательным

соединением R и L при включении на постоянное напряжение

Решение однородного уравнения – показательная функция

,

(18)

где А – постоянная интегрирования;

p – корень характеристического уравнения.

Постоянная интегрирования определяется из начальных условий. Начальными условиями являются величины переходных токов на индуктивностях и напряжений на емкостях при t=0. Т. е. величины, которые в момент коммутации не могут изменяться скачком. Величины токов в индуктивных элементах (i_L) и напряжений на емкостных элементах (u_C) непосредственно перед коммутацией (t=0) – независимые начальные условия. Для всех переходных процессов считается, что момент t=0 соответствует моменту коммутации.

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (17) записывается следующим образом

.	(19)
Откуда его корень .
.	(20)

Откуда постоянная интегрирования определяется как

После нахождения А и р получаем решение уравнения (17):

.

(21)

Разбиение токов и напряжений на установившиеся и свободные значения играет вспомогательную роль, так как они являются только расчетными компонентами. Сумма их дает действительное значение тока или напряжения. Ток определяется как сумма свободной и установившейся составляющих: .

Величина имеет размерность времени [с] и называется постоянной времени цепи. Она характеризует скорость протекания переходного процесса. Чем больше (больше L), тем медленнее затухает свободный ток. За промежуток времени ток убывает в е=2,718 раз (рисунок 12).

Рисунок 12 – Определение постоянной времени τ

При подключении резистивно-емкостной цепи без начального запаса энергии к источнику постоянной ЭДС Е (рисунок 13а) напряжение на конденсаторе изменяется по экспоненциальному закону, ток нарастает скачкообразно, а убывает по экспоненте (рисунок 13 б).

Постоянная времени τ = RC характеризует скорость зарядки конденсатора. Чем меньше R или C, тем быстрее заряжается конденсатор. В данном случае напряжение на конденсаторе изменяется согласно уравнению (22)

; при t≥0.

(22)

Рисунок 13 – Изменение тока и напряжения в RC-цепи при включении на

постоянное напряжение

При подключении цепи к источнику постоянного напряжения ток (в RL-цепи) или напряжение u_c (в RC-цепи) за время достигает 0,63 от установившегося значения. Теоретически установившиеся значения тока или напряжения достигаются через бесконечно большое время. Существуют различные критерии оценки практического окончания переходного процесса. За время напряжение на конденсаторе (ток в индуктивной катушке) достигает 0,95 от установившегося значения, а через время – более 0,99 от установившегося значения.

Кривые изменения напряжения и тока на рисунке 13 б показывают, что напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгновенно. Напряжение возрастает, а ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи , т. е. чем медленнее затухает свободное напряжение . Аналогичные процессы происходят и при скачкообразном отключении напряжения питания.

Таким образом, если к RL или RC-цепи подключить генератор, ЭДС которого имеет прямоугольную форму, то это будет равносильно тому, что постоянное напряжение периодически отключается и подключается к цепи _H или , где – внутреннее сопротивление генератора сигналов П - образной формы (рисунок 14). Чем меньше в -цепи, тем больше и тем медленнее нарастает и спадает ток. Чем больше в -цепи, тем больше , и тем медленнее нарастает и спадает напряжение на конденсаторе (рисунок 15).

Рисунок 14 – Подключение RL- цепи к генератору прямоугольных импульсов

Рисунок 15– Подключение RС- цепи к генератору прямоугольных импульсов