Бинарное дерево
Структура бинарного дерева
Упорядоченные деревья второй степени (m-арные деревья при m=2) называют двоичными или бинарными деревьями. Упорядоченное бинарное дерево можно определить как множество вершин, которое либо пусто, либо состоит из корня с двумя отдельными двоичными деревьями, которые называют левым и правым поддеревьями этого корня. Деревья степени больше двух называют сильно ветвящимися деревьями (multiway trees).
При представлении бинарного дерева в виде связного списка каждый элемент может содержать поля данных и два структурных указателя: указатель (Left) левого сына и указатель (Right) правого сына. Такое представление называется естественным представлением бинарного дерева.
Тип бинарного дерева (базовый тип дерева) может быть объявлен следующим образом:
Type
Pvertex = ^Tvertex;
Tvertex = Record
Dat: <поля данных>;
Left, Right: Pvertex;
End;
Var CurrentVertex, Root: Pvertex;
CountVertex: Integer;
где Dat, как и ранее, совокупность информационных полей; Left и Right поля структурных указателей. Поля данных мы будем использовать для размещения меток вершин. Переменные-указатели CurrentVertex и Root и необходимы для идентификации соответственно некоторой текущей вершины и корня. CountVertex количество вершин в дереве.
На рисунке 9.8 изображена структура естественного представления бинарного дерева (пустые поля указателей содержат пустые ссылки).
Рисунок 9.8 Естественное представление бинарного дерева
Формирование бинарного дерева
Предположим, что нужно построить такое бинарное дерево, которое при заданном количестве вершин N имела бы минимальную высоту. Очевидно, минимальная высота дерева достигается, если на всех уровнях, кроме последнего, поместить максимально возможное число вершин. Этого можно добиться, размещая «приходящие» в дерево вершины поровну слева и справа от той вершины, которая будет для них родителем. В результате при каждом увеличении количества вершин мы будем получать деревья, показанные на рисунке 9.9.
Рисунок 9.9 Сбалансированные бинарные деревья для различных N
Дерево, имеющее структуру, показанную на рисунке 9.9, называется сбалансированным деревом (balanced tree, AVL-tree). В таком дереве число потомков в левом и правом поддереве любой вершины отличается не более, чем на 1.
Алгоритм формирования сбалансированного бинарного дерева допускает следующую рекурсивную формулировку:
взять одну вершину в качестве корня;
построить тем же способом левое поддерево с Nleft = N Div 2 вершинами;
построить тем же способом правое поддерево с Nright = N Nleft 1 вершинами.
Вышеприведенному алгоритму соответствует рекурсивная функция BinaryTreeCreate, приведенная ниже:
Function BinaryTreeCreate(N: Integer): Pvertex;
Var Nleft, Nright: Integer;
Begin
If N = 0 Then Tree:= Nil
Else Begin
Nleft:= N Div 2;
Nright:= N - Nleft - 1;
New(CurrentVertex);
BinaryTreeCreate:= CurrentVertex;
With CurrentVertex^ Do Begin
<занесение данных в поля Dat>
Left:= BinaryTreeCreate(Nleft);
Right:= BinaryTreeCreate(Nright);
End;
End;
End;
Для использования функции BinaryTreeCreate нужно передать ей значение числа вершин и выполнить вызов в следующей форме:
Root:= BinaryTreeCreate(CountVertex);