Ответы по Матану

1) Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение, симметрическая разность). Операции над множествами

 

Обозначение множеств и их элементов. Равенство множеств.

Подмножество ( включение ). Сумма ( объединение ) множеств.

Произведение ( пересечение ) множеств. Разность ( дополнение )

множеств. Симметричная разность множеств. Свойства

операций над множествами.

 

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись  a R  означает, что элемент  а  принадлежит множеству R , то есть  а  является элементом множества R . В противном случае, когда  а  не принадлежит множеству  R , пишут  a R .  

 

Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А .

 

Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или  множество А  является подмножеством множества  В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества  А одновременно является элементом множества  В . Эта зависимость между множествами называется  включением. Для любого множества  А имеют место включения:  А  и  А  А .

Сумма ( объединение ) множеств  А и В ( пишется  А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом,  е А В  тогда и только тогда, когда либо  е А ,  либо  е В .  

 

Произведение ( пересечение ) множеств  А и В ( пишется  А В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом,  е А В  тогда и только тогда, когда   е А  и  е В .

Разность множеств А и В ( пишется  А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

Симметричная разность множеств А и В ( пишется  А \ В  ) есть множество:

 

А \ В  = ( А – В ) ( В – А ).

 

 Свойства операций над множествами:

П р и м е р ы.  1. Множество детей является подмножеством всего населения.

 

                         2. Пересечением множества целых чисел с множеством поло-

                             жительных чисел является множество натуральных чисел.

 

 3. Объединением множества рациональных чисел с множест-

                             вом иррациональных чисел является множество действи-

                             тельных чисел.

 

                         4. Нуль является дополнением множества натуральных чисел

                             относительно множества неотрицательных целых чисел.

 

5) Упорядоченные наборы. Декартово (прямое) произведение множеств.

Вектором (кортежем) в линейной алгебре и дискретной математике называют упорядоченный набор элементов. Это не есть определение вектора, поскольку целесообразнее это понятие считать основным.

Элементы, определяющие вектор, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо, а их число называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества, координаты вектора могут совпадать. Координаты вектора заключаются в круглые скобки, например (a₁, a₂, ... a_n) . Иногда скобки или запятые опускаются. Часто векторы длины 2 называются упорядоченными парами, длины 3 – тройками и т. д.

Определение. Два вектора равны, если они имеют равную длину и их соответствующие координаты равны. Иначе говоря, векторы (a₁, a₂, ... a_n) и (b₁, b₂, ... b_m) равны, если n=m  и a_n=b_m.

Определение. Декартовым (прямым) произведением множеств А и В (обозначение AxB) называется множество всех упорядоченных пар (a;b), таких, что aEA, bEB. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат множеству А, такое произведение обозначается А². Аналогично, прямым произведением множеств A₁, A₂, ... A_n называется множество всех векторов (a₁, a₂, ... a_n) длины п, таких, что a₁EA₁,a₂EA₂ ... a_nEA_n.

Пример 4. Множество - это множество всех упорядоченных пар действительных чисел, геометрической интерпретацией которого служит декартова координатная плоскость.

Координатное представление точек плоскости было впервые предложено Р. Декартом и исторически является первым примером прямого произведения. Поэтому часто прямое произведение множеств называют декартовым произведением.

Пример 5. Даны множества и . Тогда есть множество обозначений клеток шахматной доски.

Вообще конечное множество, элементами которого являются какие-либо символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.) называется алфавитом. Любые элементы множества в этом случае являются словами длины п в алфавите А. Например, десятичное целое число – это слово в алфавите цифр.

Определение. Проекцией вектора a(a₁, a₂, ... a_n) на некоторую ось называется его компонента (координата) с соответствующим порядковым номером (обозначается пр_ia). Например, проекция точки плоскости на 1-ю ось есть её абсцисса (первая координата).