Вопрос 1.

Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Понятие линейной зависимости и линейной независимости. Базис. Проекция вектора на ось.

1. Понятие вектора:

Геометрическим вектором, или просто вектором называется направленный отрезок. Начало вектора называют точкой его приложения. Длину вектора будем обозначать символом модуля: | | или | | .

Вектор называется нулевым, если совпадают его начало и конец. Нулевой вектор имеет длину равную нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, поэтому изучаемые векторы называют свободными.

2. Линейные операции над векторами.

Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.

Определение. Суммой + двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора a .

2 правила: 1. правило треугольника

2. правило параллелограмма

Св-ва сложения:

а) + = +

б) +( + ) = ( + )+

Определение. Разностью – вектора и вектора называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Определение 3. Произведением α⋅ вектора на вещественное число α называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину |α| ⋅ , и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора в случае α>0 и противоположное направлению вектора в случае α<0.

Св-ва умножения вектора на число:

а) α(β ) = (βα) , где β, α – числа.

б) (β+α) = α +

3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости.

Линейной комбинацией n векторов ₁, ₂… _n будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа:

α_{1 1}+ α_{2 2+} …+α_{n n} (1), где α1,α2,... αn- любые вещественные числа.

Определение 1. Векторы ₁, ₂… _n называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа α1,α2,...,αn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов ₁, ₂… _n с указанными числами обращается в нуль:

α_{1 1}+ α_{2 2+} …+α_{n n} = 0

Определение 2. Векторы ₁, ₂… _n называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда числа α1 =α2 =...=αn =0

Из определений 1 и 2 следуют два утверждения:

1. Если хотя бы один из векторов ₁, ₂… _n..., является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми.

2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

4. Базис.

Максимальное множество линейно независимых векторов называется базисом. Два вектора, параллельные друг другу, называются коллинеарными. Три вектора в пространстве называются компланарными, если их можно расположить в одной плоскости. Будем рассматривать плоскость (R²) и пространство (R³). Любой базис на плоскости состоит из 2 векторов (неколлинеарных), в пространстве – из 3ех некомпаланрых векторов.

5. Проекция вектора на ось.