- •Матрицы. Определители. Основные понятия.
- •Обратная матрица. Ранг матрицы.
- •Алгоритм нахождения ранга матрицы.
- •Системы линейных уравнений. Системы линейных неравенств.
- •Векторы. N – мерное линейное векторное пространство.
- •Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.
- •Квадратичные формы.
- •7.Кривые второго порядка на плоскости (окружность, эллипс).
- •Пусть и - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось - перпендикулярно к этому отрезку (рис. 7.2).
- •8. Кривые второго порядка на плоскости (гипербола, парабола).
- •Комплексные числа. Алгебраическая форма записи.
- •10. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи.
- •Многочлены и действия над ними.
- •Функции. Графики основных элементарных функций.
- •Способы задания функции.
- •Графики элементарных функций.
- •Линейная функция.
- •Квадратичная функция
- •Гипербола
- •Степенная функция с натуральным показателнм.
- •Функция .
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Предел функции.
- •Непрерывность в точке. Виды разрывов.
- •Производная, ее геометрический и физический смысл.
- •Дифференциал, его геометрический и механический смысл.
- •Теоремы о дифференцируемых функциях и их применение.
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •Первообразная функции. Неопределенный интеграл.
- •Понятие определенного интеграла. Геометрический смысл.
- •Комбинаторика. Понятие множества. Перестановки. Размещения. Сочетания.
- •Формула включений-исключений и ее применения к комбинаторике и теории чисел. Бином Ньютона.
- •Рекуррентные уравнения.
- •Производящие функции.
- •Булевые функции и их представление. Двоичная запись целых чисел.
- •Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную.
- •Перевод чисел из двоичной системы в десятичную.
- •Теория графов. Основные понятия теории графов.
- •Сущность и условия применимости теории вероятностей. Вероятностное пространство.
- •Действия со случайными событиями.
- •Вероятность события. Аксиоматическое определение вероятности.
- •Вероятность события. Классическое определение вероятности.
- •Случайные величины и способы их описания.
- •Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях.
- •Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов.
- •Задача линейного программирования в общем виде.
- •Виды злп и способы перехода от одного вида к другому.
- •Основные теоремы линейного программирования.
- •Симплекс-метод.
- •Метод искусственного базиса.
- •Алгоритм метода искусственного базиса.
- •Двойственность задач линейного программирования. Таблица соответствий.
- •Теоремы двойственности.
- •Критерии оптимальности.
- •Транспортная задача. Закрытая и открытая модели.
- •Теорема о существовании оптимального решения.
- •Целочисленные злп, графический метод решения в случае двух переменных.
- •Задачи о назначениях и о коммивояжере как частные случаи целочисленных злп.
- •Метод ветвей и границ.
- •Алгоритм метода ветвей и границ:
- •Стандартная задача нелинейного программирования.
- •Локальный экстремум. Необходимое и достаточное условия.
- •Глобальный и условный экстремумы
- •Множители Лагранжа.
- •Задача о потребительском выборе.
- •Выпуклые множества, выпуклые и вогнутые функции. Теорема Куна-Таккера.
- •Динамическое программирование. Общая постановка задачи.
- •Функции Беллмана. Уравнения Беллмана. Условно-оптимальные управления.
- •Условная оптимизация.
- •Безусловная оптимизация.
- •Принцип Беллмана для оптимальных путей.
- •I этап. Условная оптимизация.
- •II этап. Безусловная оптимизация.
- •Оптимальное распределение инвестиций как задача динамического программирования.
- •Теория игр. Игровые модели.
- •Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса.
- •Чистые стратегии. Седловая точка.
- •Решение игр в смешанных стратегиях.
- •Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.
- •Биматричные игры. Равновесие Нэша. Оптимальность Парето.
- •60. Игра двух лиц, в которой одним из игроков является "природа"
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида , при .
Логарифмическая функция является функцией, обратной показательной.
Свойства логарифмической функции:
1). Область определения функции:
2). Область значений: .
3). Функция не является ни четной, ни нечетной.
4). Функция непрерывна и не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
5). При функция строго возрастает, а при строго убывает.
6). При функция выпукла вверх, а при выпукла вниз.
П ример логарифмических функций и :
Предел функции.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .
Обозначение: .
Запишем это определение коротко:
.
К вантор всеобщности читается: «для всех». Квантор существования заменяет слово «существует». Запись означает, что «из следует ». А указывает на эквивалентность высказываний и , т. е. «из следует и из следует ».
Геометрический смысл предела функции поможет понять рис. 13.1. Для любой -окрестности точки (ось ) найдется такая -окрестность точки (ось ), что для всех точек этой окрестности, кроме, быть может, , соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки . Иначе говоря, точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми , . Величина зависит от выбора , поэтому пишут .
Пусть функция определена на всей числовой оси.
Обозначение: .
Запишем определение предела функции коротко:
.
Г еометрический смысл этого определения: для любой ‑окрестности точки (рис. 13.2) найдется такая окрестность бесконечно удаленной точки (ось ),
что для всех точек этой окрестности соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки , т. е. точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми , .
Если рассматривается поведение функции при или при , то пишут и, соответственно, .
Пусть определена в некоторой окрестности точки . Определение. Функция называется бесконечно большой при (включая бесконечность), если .
Запишем определение коротко:
.
Г еометрический смысл определения: для любой окрестности бесконечно удаленной точки найдется такая -окрестность точки , что для всех точек этой окрестности, кроме точки , соответствующие значения функции лежат в окрестности , т. е. точки графика лежат выше прямой и ниже прямой (рис. 13.3).
Если функция стремится к бесконечности при , принимая только положительные значения, то пишут , а если, принимая лишь отрицательные значения, то пишут .
Пусть функция определена на всей числовой оси.
Обозначение: .
Коротко определение:
Геометрический смысл определения: для любой окрестности бесконечно удаленной точки оси найдется такая окрестность бесконечно удаленной точки оси , что как только точка попадает в эту окрестность, так сразу соответствующие значения функции лежат в окрестности , т. е. точки графика лежат выше прямой и ниже прямой (рис.13.4).